Kondition (Mathematik)

In der numerischen Mathematik beschreibt man mit der Kondition die Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Die Konditionszahl stellt ein Maß für diese Abhängigkeit dar, sie beschreibt den Faktor um den Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt werden. Die Kondition eines Problems ist unabhängig von dem Verfahren welches angewendet wird.

Ist die Konditionszahl ungefähr 1 spricht man von einem gut konditionierten Problem, bei einer großen Konditionszahl spricht man auch von einem schlecht konditionierten Problem und ist die Konditionszahl unendlich, so handelt es sich um ein schlecht gestelltes Problem.

Die Bedeutung der Kondition wird offensichtlich, wenn man sich den Unterschied zwischen den realen Eingangsdaten (beispielsweise reelle Zahlen) und den tatsächlichen Eingangsdaten in Form von Maschinenzahlen klar macht. Es liegen also einem Computerprogramm stets bereits verfälschte Daten vor. Das Computerprogramm sollte nun ein brauchbares Ergebnis liefern. Wenn aber das Problem bereits schlecht konditioniert ist, darf man keine Wunder mehr vom Algorithmus erwarten.

Konkret

Um nun konkret etwas angeben zu können, muss man als erstes ein numerisches Problem charakterisieren: Ein numerisches Problem ist eine Abbildung, die die $n$ Eingangsdaten auf die $m$ Ausgangsdaten abbildet: $p:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{m}$.

Wenn nun gestörte Eingangsdaten, wie $x_{i}+\delta x_{i}$, vorliegen, entstehen verfälschte Ausgangsdaten $y_{j}+\delta y_{j}$:

$\delta y\approx {\frac {\partial p}{\partial x}}\delta x$.

Die absoluten Konditionszahlen sind definiert als: $\kappa _{i,j,absolut}:=|{\frac {\partial p_{i}}{\partial x_{j}}}|$

Die relativen Konditionszahlen sind nun definiert als: $\kappa _{i,j,relativ}:=|{\frac {x_{j}}{y_{i}}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial x_{j}}}|$

Beispiele

Multiplikation: $x_{1}\cdot x_{2}$

$\kappa _{1,relativ}:=|{\frac {x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}}|=1$

Damit ist die Multiplikation also gut konditioniert.

Addition: $x_{1}+x_{2}$

$\kappa _{1,relativ}:=|{\frac {x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}|$

Die Addition ist nun für $x_{1}+x_{2}\approx 0$ sehr schlecht konditioniert. In diesem Fall spricht man von Auslöschung.

Matrix: Die Kondition einer Matrix, die ein LGS beschreibt kann bezüglich einer Norm $||\cdot ||$ mit $cond_{||}=||A||\cdot ||A^{-1}||$ angegeben werden.

Behandlung

Man sollte also schlecht konditionierte Probleme vermeiden. Aber wie? Wenn konkret ein derartiges Problem gestellt ist, muss man damit leben. Häufig hat man aber ein Problem, welches zur Behandlung in einzelne Schritte zerlegt wird. Bei dieser Zerlegung hat man die Möglichkeit schlecht konditionierte Probleme zu umgehen. Beispielsweise die obige Auslöschung: Braucht man wirklich dieses Zwischenergebnis? Oder kann man im Fall $x_{1}\approx -x_{2}$ auf eine andere Weise zur Gesamtlösung kommen?

Bei Matrizen helfen oft Zeilenvertauschungen weiter.