Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegungen beschreibt. Sie ist damit das Gegenstück zur (trägen) Masse der Translationsbewegungen.

Das Trägheitsmoment I ist immer in Bezug auf die jeweilige Drehachse zu sehen und berechnet sich, wenn man einzelne Massenpunkte des drehenden Körpers betrachtet, wie folgt:

$I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$

m ist dabei die Masse des jeweiligen Teilchens, r der Abstand des Teilchens von der Drehachse. Es werden also alle Massen im Produkt mit dem Quadrat des Abstandes von der Achse aufsummiert.

Für das Trägheitsmoment um die x-Achse heißt das Konkret:

$I_{x}=\sum _{i}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})$

Da in der Realität keine einzelnen Massenpunkte ohne Ausdehnung vorkommen, und man daher einen Körper in der Regel mit kontinuierlicher Massenverteilung betrachten wird, benutzt man in diesem Fall die Integralschreibweise:

$I=\int r^{2}\,{\mbox{d}}m$

dm ist dabei das so genannte Massenelement.

Durch das Trägheitsmoment lässt sich bei gegebener Winkelgeschwindigkeit bzw. -beschleunigung der Drehung der Drehimpuls und das Drehmoment ermitteln:

${\vec {L}}={\vec {\omega }}I_{\omega }\Rightarrow {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}=I_{\omega }{\dot {\vec {\omega }}}$

Trägheitsmomente verschiedener Körper

Vollzylinder
$J={1 \over 2}\cdot m\cdot r^{2}$

Kugel
$J={2 \over 5}\cdot m\cdot r^{2}$

Massepunkt im Abstand $r$ von einer Drehachse
$J=m\cdot r^{2}$

Die Steiner-Regel

Die obenstenden Trägheitsmomente sind nur dann gültig, wenn die Drehachse der geometrischen Achse des Körpers entspricht, d.h. durch den Schwerpunkt geht. Andernfalls kann die Steiner-Regel angewendet werden:

$I=I_{G}+ml^{2}$

Hier ist I_G das Trägheitsmoment für den Fall dass die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. m ist die Masse des Körpers und l der Abstand von Drehachse und Schwerpunkt.