Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator, geschrieben als H beschreibt in der Quantenmechanik die Größe der Gesamtenergie eines Systems. In ein quantenmechanisches System kann der Zustand eines System durch einem Vektor im abstrakten Hilbertraum charakterisiert werden. Die physikalisch beobachtbare Größe wirken als hermitischen Operatoren auf diesen Vektoren.

Der Hamiltonoperator H entspricht die beobachtbare Größe Gesamtenergie des Systems. Die Eigenvektoren von H, als {|a〉} notiert, liefert einen Satz orthonormale Basisvektoren im Hilbertraum. Das Spektrum der erlaubten Energieniveaus des Systems wird von den Eigenwerten angegeben {E_a}:

$H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle$.

Hier ist H der hermitische Operator, die Energie ist immer eine reelle Zahl.

Je nach dem Hilbertraum des System, das Energiespektrum kann diskret oder kontinuierlich sein. In der Tat, des gibt Systeme, die in manchen Wertebereichen kontinuierliches Energiespektrum und in anderen Wertebereich diskrete Energiespektrum aufweisen. Ein Beispiel dafür ist ein endliches Potentialtopf, in dem gebundenen Zuständen mit diskreten negativen Energien und freie Zuständen mit kontinuierlichen positiven Energien auftreten.

Der Hamiltonoperator beschreibt auch die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustandes. Wenn |ψ(t)〉 der Zustand des Systems zur Zeit t ist, dann

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$.

wo ℏ das Plancksche Wirkungsquantum ist. Die Gleichung ist die bekannte Schrödingergleichung. Wenn der Zustand zum Anfangszeitpunkt (t = 0) bekannt ist, können wir die Gleichung integrieren und so den Zustand jedes beliebigen späteren Zeitpunkt erhalten. Wenn H selbst zeitunabhängig ist, dann

$\left|\psi (t)\right\rangle ={\hbox{exp}}\left(-iHt/\hbar \right)\left|\psi (0)\right\rangle$.

wobei die Exponentialoperator auf der rechten Seite durch in ihre Reihendarstellung definiert wird.