Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen X. In der elementaren Algebra identifiziert man diese formale Summe mit einer Funktion in X (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesen beiden Begriffen.

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

wobei als Definitionsbereich jeder beliebige Ring in Frage kommt, z.B auch ein Restklassenring. Meist werden aber die ganzen Zahlen oder die reellen Zahlen genommen.

Die a_i stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient a_n nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient. Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert. Der Koeffizient a₀ heißt Absolutglied. Beispielsweise ist 2x³ - 7x² + x ein Polynom vom Grad 3 mit Leitkoeffizient 2 und Absolutglied 0.

Polynome des Grades

Eigenschaften

• Polynome sind von besonderer Bedeutung, weil sie die einfachsten Funktionen bilden, die insbesondere leicht zu differenzieren und integrieren sind. Daher gibt es viele Möglichkeiten, komplexere Funktionen durch Polynome anzunähern (siehe z. B. Taylor-Formel, Polynominterpolation).

• Polynome wachsen als Summe von Potenzen langsamer als jede exponentielle Funktion, unabhängig von den Koeffizienten.

Nullstellen

Allgemeine Eigenschaften

Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Wert von P(x) Null ist. Sie sind also die Lösungen der Gleichung P(x) = 0. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom vom Grad n höchstens n reelle und genau n komplexe Nullstellen hat; dabei müssen Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom $(x-2)^{2}$ eine doppelte Nullstelle bei $x=2$. Polynome lassen sich mit Hilfe des Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

• Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen exakt faktorisieren.

• Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad n läßt sich über Intervall eingrenzen, welches durch die beiden Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung gegeben ist:

$n\cdot x^{2}+2\cdot a_{n-1}\cdot x+2\cdot (n-1)\cdot a_{n-2}-(n-2)\cdot a_{n-1}^{2}=0$

Lösungsformeln

Neben den allgemeinen Lösungsformeln für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und biquadratische Gleichungen gibt es auch noch Lösungen für spezielle Gleichungen:

• Reziproke Polynome haben die Form

$f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+...+c_{1}\cdot x+c_{0}$, d.h für den i-ten Koeffizient gilt $c_{i}=c_{n-i}\,$

Ist n gerade und hat man eine Lösung $x_{i}\,$ gefunden, so ist auch stets $1/x_{i}\,$ eine Lösung der Gleichung.

• Falls das Polynom ungeraden Grades ist, dann ist auch stets 1 oder -1 eine Nullstelle, die man abdividiert (Polynomdivision), um die Gleichung in ein Polynom geraden Grades zu überführen.
• Die Gleichung wird durch $x^{\frac {n}{2}}$ dividiert
• Die Summanden mit gleichem Koeffizienten werden zusammengefasst
• Man substituiert $x+{\frac {1}{x}}=z;\quad x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=z^{2}-2;\quad x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}=z^{3}-3\cdot z;\quad ...$ und entwickelt so ein Polynom in z mit dem Grad n/2.
• Das Polynom in z wird aufgelöst und die Substitution rückgängig gemacht

• Binome haben die Form $x^{n}+c=0\,$

Die n Lösungen ergeben sich -je nach Vorzeichen von c- aus den de-Moivreschen-Formeln:

$x_{i}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot (\cos {\frac {(2\cdot n-1)\cdot \pi }{n}}+i\cdot \sin {\frac {(2\cdot n-1)\cdot \pi }{n}}),\quad c\geq 0$

$x_{i}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot (\cos {\frac {2\cdot (n-1)\cdot \pi }{n}}+i\cdot \sin {\frac {2\cdot (n-1)\cdot \pi }{n}}),\quad c\leq 0$

• Polynome, die nur gerade Potenzen von x enthalten, sehen so aus:

$c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+...+c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}$

Die Lösung erfolgt durch die Substitution $z=x^{2}\,$. Hat man eine Lösung für $z_{1}$ gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für x abzuleiten sind:

$x_{1}={\sqrt {z_{1}}}$ und $x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}$

• Polynome, die nur ungerade Potenzen von x enthalten, sehen so aus:

$c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+...+c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x$

Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch x aus und behandelt es dann wie ein Polynom, das nur gerade Potenzen von x enthält</math>

Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form

$f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0},$

wobei die Koeffizienten a_i aus einem Ring R stammen und X ein formales Symbol ist.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden koeffizientenweise addiert und die Multiplikation ergibt sich mit dem Distributivgesetz aus den Regeln

X · a = a · X für a aus R

X^m · Xⁿ = X^m+n für natürliche Zahlen m,n.

Stellt man Polynome durch die Folge ihrer Koeffizienten dar, dann ist das Produkt zweier Polynome die Faltung ihrer Koeffizientenfolgen.

Polynomfunktion

Indem man an Stelle von $X$ ein Element $x$ des Rings $R$ einsetzt, erhält man ein Element $f(x)$ von $R$ als Bild. Diese Zuordnung $x\mapsto f(x)$ ist eine Funktion von $R$ nach $R$, die von $f$ induzierte Funktion, eine Polynomfunktion.

In den Formeln wird dieser Unterschied nicht deutlich; meist schreibt man jedoch Unbestimmte als Großbuchstaben und Ringelemente als Kleinbuchstaben.

Die Unterscheidung ist jedoch wichtig, weil verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise $R$ der Restklassenring $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, so induzieren die beiden Polynome

$f(X)=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X$

und

$g(X)=0$

beide die Nullfunktion

$f(x)=g(x)=0$ für alle $x\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}$.

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsbereich ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Polynomring

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R[X]. Sie ist mit der oben angegebenen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Polynomring über R .

Auch die Menge der Polynomfunktionen über dem Ring R bildet einen Ring, der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring.

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a_ijx_i^j als Polynom:

$P(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})=\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}^{j}$

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X₁ bis X_n über dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als R[X₁, ..., X_n].

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

$f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$

über, erhält man formale Potenzreihen.

Lässt man auch negative Exponenten zu:

$f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}$

dann erhält man formale Laurentreihen.

Siehe auch

• Polynominterpolation
• Polynomdivision
• Cardanische Formeln