Polyederzahl

Polyederzahlen sind dreidimensionale Figurierte Zahlen, das heißt die Polyederzahlen beziehen sich jeweils auf einen geometrischen Körper, nach dem sie dann auch benannt sind. Sie beziffern jeweils die Anzahl von Kugeln, mit denen man einen derartigen Körper bauen kann. Sie stellen eine Verallgemeinerung der zweidimensionalen Polygonalzahlen dar.

Summen dezentraler Polygonalzahlen

Tetraederzahlen

Die grundlegendste Polyederzahl ist die Tetraederzahl, die die Dreieckszahl verallgemeinert:

Man erkennt, dass für die $n$-te Tetraederzahl $Pyr_{3}(n)$ gilt:

$Pyr_{3}(n):=\sum _{i=1}^{n}D_{i}=D_{1}+D_{2}+D_{3}+\ldots +D_{n},$

wobei $D_{i}={\tfrac {i(i+1)}{2}}$ für die $i$-te Dreieckszahl steht.

Die direkte Berechnungsformel lautet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle Pyr_3(n) = \frac{n\cdot (n+1) \cdot (n+2)}6 = \binom{n+2}3,}

wobei der letzte Ausdruck ein Binomialkoeffizient darstellt.

Die ersten Tetraederzahlen sind daher

0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, … (Folge A000292 in OEIS)

Quadratische Pyramidalzahlen

Die Quadratischen Pyramidalzahlen $Pyr_{4}(n),$ manchmal auch als die Pyramidalzahlen bezeichnet, sind die Summen der ersten Quadratzahlen $Q_{n}$:

$Pyr_{4}(n):=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\ldots +Q_{n}.$

Die direkte Berechnungsformel lautet:

$Pyr_{4}(n)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.$

Die ersten Pyramidenzahlen sind

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, … (Folge A000330 in OEIS)

Außerdem gilt

$Pyr_{4}(n)=D_{n}+2\cdot Pyr_{3}(n-1)=Pyr_{3}(n)+Pyr_{3}(n-1).$

Fünfeckige Pyramidalzahlen

Analog lassen sich weitere Pyramidalzahlen definieren, z.B. die fünfeckigen Pyramidalzahlen $Pyr_{5}(n)$ als Summe der ersten Fünfeckszahlen $F_{n}$:

$Pyr_{5}(n):=\sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{1}+F_{2}+F_{3}+\ldots +F_{n}={\frac {n^{2}\cdot (n+1)}{2}}.$

Die Folge der Fünfeckigen Pyramidalzahlen beginnt mit

0, 1, 6, 18, 40, 75, ... (Folge A002411 in OEIS).

$k$-eckige Pyramidalzahlen und allgemeine Eigenschaften

Analog ergibt sich für die $n$-te $k$-eckige Pyramidalzahl $Pyr_{k}(n)$ die folgende Formel:

$Pyr_{k}(n)=\sum _{i=1}^{n}Polyg_{k}(i)=Polyg_{k}(1)+Polyg_{k}(2)+Polyg_{k}(3)+\ldots +Polyg_{k}(n)={\frac {1}{6n(n+1)[(k-2)n-k+5]}}.$

Die Erzeugende Funktion der Tetraederzahlen ist

${\frac {x}{(x-1)^{4}}}=\mathbf {1} x+\mathbf {4} x^{2}+\mathbf {10} x^{3}+\mathbf {20} x^{4}+\ldots$

die der quadratischen Pyramidalzahlen

${\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}=\mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\ldots$

usw. Allgemein für die Pyramidalzahlen $k$-eckiger Grundfläche:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle {\frac {x[(x-3)x+1]}{(x-1)^{4}}}=\sum _{i=1}^{\infty }\mathrm {\mathbf {Pyr} } _{k}(i)\cdot x^{i}=\mathrm {\mathbf {Pyr} } _{k}(1)\cdot x+\mathrm {\mathbf {Pyr} } _{k}(2)\cdot x^{2}+\mathrm {\mathbf {Pyr} } _{k}(3)\cdot x^{3}+\ldots }

Die Reihen der Kehrwerte sind bei den einzelnen Pyramidalzahlen stets konvergent, bei den Tetraederzahlen etwa ist der Grenzwert ${\tfrac {3}{2}}.$

Die Abfolge von geraden und ungeraden Pyramidalzahlen wiederholt sich jeweils nach einem bestimmten Schema, bei den Tetraederzahlen etwa lautet der Zyklus eine ungerade Zahl - drei gerade Zahlen.

Es ist zu bemerken, dass die $0$ wie bei allen figurierten Zahlen bei manchen Autoren als nullte oder erste Polyederzahl dazugezählt wird, bei anderen auch nicht.

Summen zentrierter Polygonalzahlen

Man kann statt den dezentralen auch die zentrierten Polygonalzahlen zu Polyederzahlen aufaddieren.

Oktaederzahlen

Die Oktaderzahlen sind die Summen der ersten zentrierten Quadratzahlen $ZQ_{n}$:

$Okt_{n}=\sum _{i=1}^{n}ZQ_{i}=ZQ_{1}+ZQ_{2}+...+ZQ_{n}=Pyr_{n}+Pyr_{n-1}=n+4T_{n-1}={\tfrac {1}{3}}n(2n^{2}+1).$

Die ersten Oktaederzahlen sind

0, 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, ... (Folge A005900 in OEIS).

Kubikzahlen

Die Kubikzahlen $kub_{n}$ sind die Summen der ersten zentrierten Sechseckszahlen $ZS_{n}$:

$kub_{n}=\sum _{i=1}^{n}ZS_{i}=ZS_{1}+ZS_{2}+ZS_{3}+\ldots +ZS_{n}=n+6\cdot T_{n-1}=n^{3}.$

Die Folge der Kubikzahlen beginnt mit

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ... (Folge A000578 in OEIS).

Zentrierte Kubikzahlen

Die zentrierten Kubikzahlen $ZKub_{n}$ berechnen sich wie folgt:

$ZKub_{n}=kub_{n}+kub_{n-1}=n^{3}+(n-1)^{3}=2n-1+6\cdot Pyr_{n-1}.$

Die ersten sind:

0, 1, 9, 35, 91, 189, 341, ... (Folge A005898 in OEIS).

Quellen

• Dreidimensionale Figurierte Zahlen
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: OEIS