Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor treten immer gemeinsam in der Linearen Algebra auf. Die im folgenden beschriebene mathematische Problemstellung nennt sich spezielles Eigenwertproblem.

Eigenvektoren eines linearen Operators (etwa durch eine Matrix dargestellt) sind Vektoren, auf welche die Anwendung des Operators (etwa die Multiplikation mit der Matrix) ein skalares Vielfaches ihrer selbst ergeben.

Den entsprechenden Skalar nennt man Eigenwert. (Der Nullvektor wird nicht als Eigenvektor bezeichnet, obwohl er diese Eigenschaft für jeden Skalar erfüllt.)

Formal ausgedrückt heißt das:

• Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix, so heißt ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$ ein Eigenvektor der Dimension $n$ zum Eigenwert $\lambda \in \mathbb {C}$, wenn gilt:

$A\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {x}}$

Hinweis: Operatoren, die die Dimension des Vektors verändern, haben offenbar keine Eigenwerte. Das bedeutet, dass Eigenvektoren und Eigenwerte nur bei quadratischen Matrizen auftreten.

Berechnung der Eigenwerte

Die Eigenwerte lassen sich durch Lösung folgender Gleichung bestimmen, wobei $\det(M)$ die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$ und $E$ die $n\times n$-Einheitsmatrix bezeichnet:

$\det(A-\lambda \cdot E)=0$

Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n-ten Grades in $\lambda$, das charakteristische Polynom (siehe dort zur Herleitung). Dessen Auflösung liefert die n Eigenwerte $\mathrm {\lambda } _{1},\ ...,\lambda _{n}$.

$\alpha _{n}\cdot \lambda ^{n}+\alpha _{n-1}\cdot \lambda ^{n-1}+...+\alpha _{1}\cdot \lambda +\alpha _{0}=0$

Gleiche Eigenwerte fasst man zusammen, so dass sich $k\leq n$ Eigenwerte $\lambda _{1},\ ...,\lambda _{k}$ mit ihren Vielfachheiten $v_{i}$ ergeben.(Ist z.B. $\lambda _{1}=1\ ,\lambda _{2}=1\ ,\lambda _{3}=2$ dann besteht eine Vielfachheit für $\lambda _{1}$ von 2 und $\lambda _{3}$ von 1)

Die Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit.

Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten (die algebraische und die später erklärten geometrische), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Zahlenbeispiel

Gegeben ist die quadratische Matrix A:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&2&-1\\2&-1&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}$

Subtraktion der mit Lambda multiplizierten Einheitsmatrix von A:

$det(A-\lambda \cdot E)=det{\begin{pmatrix}0-\lambda &2&-1\\2&-1-\lambda &1\\2&-1&3-\lambda \end{pmatrix}}$

Ausrechnen der Determinante:

$det(A-\lambda E)=(0-\lambda )(-1-\lambda )(3-\lambda )+4+2-(2\lambda +2+\lambda +12-4\lambda )$

$=-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+4\lambda -8$

$=-(\lambda -2)(\lambda -2)(\lambda +2)$

Es ergeben sich die Eigenwerte:

$\lambda _{1}=-2,$   $\lambda _{2}=2.$

Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Berechnung der Eigenvektoren

Für einen Eigenwert $\lambda$ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

$(A-\lambda \cdot E)\cdot {\vec {x}}=0$

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension mit geometrischer Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert $\lambda$ der geometrischen Vielfachheit $v$ lassen sich also Eigenvektoren $x_{1},...\ ,x_{v}$ finden, so dass die Menge aller Eigenvektoren zu $\lambda$ gleich der Menge der Linearkombinationen von $x_{1},...\ ,x_{v}$ ist. $(x_{1},...\ ,x_{v})$ heißt dann Basis von Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch also die maximale Anzahl an [linear unabhängig | linear unabhängiger] Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.

Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit.

Berechnung der Eigenwerte großer Matrizen

Während die Lösung des charakteristischen Polynoms für Matrizen der Dimension 3 schon nicht so einfach ist, wird es für große Matrizen nahezu unmöglich. Hierzu gibt es Verfahren, die sowohl von der numerischen Stabilität her als auch vom Rechenaufwand wesentlich besser sind. Dazu gehören

• die Potenzmethode,
• die QR-Zerlegung,
• der QZ-Algorithmus
• sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen.

Online-Tool zum Berechnen von Eigenwerten etc. auch großer Matrizen

Praktische Beispiele

Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man

• Eigenfrequenzen, Eigenformen und gegebenenfalls auch Dämpfungscharakteristik eines schwingfähigen Systems,
• Knicklast eines Knickstabs,
• Beulversagen eines leeren Rohres unter Außendruck,
• Die Hauptkomponenten einer Punktmenge, z.B. zur Kompression von Bildern oder Bestimmung von Faktoren in der Psychologie. (Principal Component Analysis).
• Hauptspannungen in der Festigkeitslehre: Umrechnung der Spannungen in ein Kordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt,
• Hauptträgheitsachsen eines unsymmetrischen Querschnitts, um einen Balken (Träger oder ähnliches) in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen,
• vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils anders definierten Stabilität eines Systems zu tun haben.

Eigenwerte spielen eine besondere Rolle in der Quantenmechanik. Physikalische Größen, wie z.B. der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z.B. der Hamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann die Energie nur diskrete Werte annehmen, was z.B. für die Energieniveaus in einem Atom typisch ist. Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z.B. Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich auf die Unmöglichkeit in diesem Fall zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren gefunden werden kann.