Eisenstein-Zahl

Die Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Die Gauß'schen Zahlen sind eine andere Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.

Definition

Eine Zahl $E$ ist eine Eisenstein'sche Zahl, wenn

• $E=a+be^{2\pi \mathrm {i} /3}$

wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind und $e^{2\pi \mathrm {i} /3}$ eine dritte Wurzel aus 1 ist.

Eigenschaften und Bedeutung

Die Eisenstein-Zahlen bilden ein Dreiecksgitter in der Gauß'schen Zahlenebene. Sie entsprechen den Mittelpunkten einer dichtesten Kugelpackung in zwei Dimensionen.

Auf den Eisenstein-Zahlen läßt sich Zahlentheorie betreiben. Man kann Primzahlen definieren und zeigen, daß die Primfaktordarstellung einer Eisenstein-Zahl eindeutig ist. Ganze Zahlen der Form $m^{3}+3n^{3}$ sind in den Eisenstein-Zahlen immer zerlegbar. Daher sind die Zahlen 3, 7, 13, 19, ... keine Primzahlen in den Eisenstein-Zahlen.