Drehmoment

Als Drehmoment bezeichnet man die physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt.

Definition

Wirkt auf einen starren Körper eine Kraft, so wird er beschleunigt: Seine Geschwindigkeit wird verändert. Er führt eine geradlinige oder (z.B. unter Einfluß der Gravitation) gekrümmte Bewegung = Translationsbewegung aus. Wird der Körper an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translationsbewegung mehr möglich. Die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich dann auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d.h. die die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment. Eine einzelne Kraft ${\vec {F}}_{1}$ kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird z.B. durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, ${\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}$, so ist die resultiernde Kraft auf den Körper Null und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt das Kräftepaar ein Drehmoment und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{2}$ auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand ${\vec {r}}$ ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft ${\vec {F}}_{2}$ zum Angriffspunkt von ${\vec {F}}_{1}$ zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente $r'$ von ${\vec {r}}$ bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ (oder ${\vec {F}}_{2}$) steht. $r'$ ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken. Der Betrag des Drehmoments ist dann das Produkt von $|{\vec {F}}_{1}|$ mit $r'$, und die Richtung des Drehmoments ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft ${\vec {F}}_{1}$ und den Abstandsvektor ${\vec {r}}$ aufgespannt wird, und zwar in der Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment ${\vec {M}}$ die Definition:

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}$.

Die physikalische Dimension des Drehmoments ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newtonmeter ($\mathrm {Nm=kg\,m^{2}/s^{2}}$).

D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper ein von Null verschiedene resultierende Kraft, z.B. weil nur eine einzige Kraft ${\vec {F}}_{1}$ von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft) ${\vec {F}}_{t}=-m{\vec {a}}$ berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ nicht durch den Schwerpunk geht, dann bilden ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{t}$ ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Käfte einschließlich der Trägheitskraft Null ergibt!).

Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt ${\vec {F}}_{1}$ sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}$ und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten).

Reale Körper

Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmoments hervorgerufene Deformation (z.B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmoments selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, der die Deformation des Körpers einschließt. Zur Unterscheidung dieses Falles von dem der reinen Drehbewegung wird in der Technik die Größe, die auch die Deformation einschließt, als Moment bezeichnet, und nur im Fall der reinen Drehbewegung von Drehmoment gesprochen.

Beispiel

Ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung des Drehmoments ist das Lösen einer festsitzenden Schraube. Wenn die Schraube horizontal angeordnet ist und man einen Schraubenschlüssel von einem Meter Länge so auf die Schraube aufsetzt, dass der Hebelarm nach links weist, so kann man zum Lösen der Schraube auf diese ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 1 m) ausüben, wenn man das Ende des Schraubenschlüssels mit einer Kraft von 100 N nach unten drückt. Die Schraube muss dabei eine rückhaltende Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung (nach oben) aufbringen, was z.B. zu einem Verkanten/Verbiegen der Schraube führen kann. Diese Situation wird mit einem kürzeren Schraubenschlüssel noch verschärft. Um mit einem halb so langen Schlüssel das selbe Drehmoment aufzubringen wird eine Kraft und Gegenkraft von 200 N benötigt (200 N · 0,5 m). Diese zusätzliche Belastung der Schraube kann komplett verhindert werden, wenn man einen Schlüssel verwendet, dessen auf die Schraube aufzusetzender Sechskant sich in der Mitte des Hebelarms des Schlüssels befindet. Wenn man bei diesem an beiden Enden mit einer Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung zieht und der Schlüssel eine Länge von einem Meter besitzt, so wird auch hier ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 0,5 m + 100 N · 0,5 m) ausgeübt, aber ohne dass die Schraube die Rückhaltekraft aufbringen muss. Wenn man einen solchen Schlüssel nicht zur Hand hat, so kann man die Schraube auch dadurch entlasten, dass man mit der gleichen Kraft, mit der man das linke Hebelende nach unten drückt, am anderen Ende (dicht an der Schraube) nach oben zieht.

Vergleich mit der Translationsbewegung

Das Verständnis des Drehmoments kann ein Vergleich der bei einer Drehbewegung auftretenden Größen mit den charakteristischen Größen der Translationsbewegung erleichtern:

Größe	Translationsbewegung	Rotationsbewegung
Koordinate	Ort ${\vec {x}}$	Winkel ${\vec {\varphi }}$ (Positiver Drehsinn entsprechend der Rechte-Hand-Regel entgegen dem Uhrzeigersinn)
Geschwindigkeit	${\vec {v}}={\dot {\vec {x}}}$	Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}={\dot {\vec {\varphi }}}$
Beschleunigung	${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {x}}}$	${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}={\ddot {\vec {\varphi }}}$
Masse	$m$ (Skalar)	Trägheitsmoment $J_{ij}$ (Tensor zweiter Stufe)
Bewegungsgleichungen	Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}$ Im Falle konstanter Masse $m$: ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$	Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}$ Im Falle konstanten Massenträgheitsmoments $J$: ${\vec {M}}=J\cdot {\vec {\alpha }}$

Das Massenträgheitsmoment $J$, oder auch kurz Trägheitsmoment ist allgemein nicht konstant, und kann allgemein auch nicht als Skalar dargestellt werden, sondern vielmehr als Tensor 2. Stufe, dem Trägheitstensor.

Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren Zeitliche Änderung (Ableitung ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$) handelt, z.B. ${\dot {\vec {L}}}$, der zeitlichen Änderung des Drehimpulses: ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}$.

Unterschiedliches Auftreten des Drehmoments

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie wirken:

Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente:

1. Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt.
2. Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.

• Antriebsmoment eines Motors
• Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe
• Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes
• Anfahrmoment einer Gasturbine
• Anzugsmoment einer Schraube
• Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes

Bei den folgenden Größen geht es nicht um die Bewegung, sondern um die Belastung und Deformation der Körper; in der Technik werden sie daher nicht als Drehmoment, sondern als Moment bezeichnet:

• Biegemoment in einem Stahlträger
• Torsionsmoment in einer Welle
• Einspannmoment eines Krägträgers
• krängendes Moment des Windes auf ein Segelboot

Drehmomentmesstechnik

• Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik