Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist die höherdimensionale Entsprechung einer Ellipse.

Definition

Ein Ellipsoid im dreidimensionalen Raum kann als affines (also gestrecktes oder gestauchtes) Bild einer Sphäre (d. h. Kugeloberfläche) erklärt werden. Unter Verwendung kartesischer Koordinaten und Ausrichtung der Koordinatenachsen x,y und z nach den Symmetrieachsen des Ellipsoids lautet seine Gleichung

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}-1=0

mit positiven reellen Zahlen $a$ , $b$ und $c$ , den Längen der Halbachsen.

Im n – dimensionalen Raum ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q=(q_{ij})$ :

E=\left\{x=(x_{1}\ldots x_{n})\in R^{n}:x^{T}Qx=\sum _{1\leq i,j\leq n\ }q_{ij}x_{i}x_{j}=1\right\}.

Durch Hauptachsentransformation kann man $Q$ auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren. Die Eigenvektoren geben die Richtung und die Eigenwerte die dazugehörigen halben Längen der Hauptachsen an.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Die folgenden Erläuterungen beschränken sich wieder auf Ellipsoide im dreidimensionalen Raum. Sind alle drei Halbachsen verschieden, spricht man von triaxialen (oder dreiachsigen) Ellipsoiden. Bei Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen entstehen Rotationsellipsoide. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

Volumen des Ellipsoids

Das Volumen $V$ lässt sich mit

V={\frac {4}{3}}\pi abc

aus dem Produkt der Halbachsen berechnen.

Oberfläche des Rotationsellipsoids

Sei $a\geq b\geq c$ und sei $\varepsilon ={\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}$ die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der $xz$ -Ebene $y=0$ ergibt.

Dann ist für

ein abgeplattetes (oblates) Ellipsoid mit

a=b>c

(Rotationsachse = z-Achse)

A=2\pi a^{2}\left(1+\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\,{\frac {\operatorname {artanh} \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right)

und für ein verlängertes (prolates) Ellipsoid mit

a>b=c

(Rotationsachse = x-Achse)

A=2\pi c^{2}\left(1+{\frac {a}{c}}\,{\frac {\arcsin \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right).

Oberfläche des triaxialen Ellipsoids

Die Oberfläche des triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B. artanh oder arcsin. Die Flächenberechnung gelang Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale.

Sei $a>b>c$ . Schreibt man

k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}

(1)

und

\varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}

,

(2)

so lauten die Integrale

E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x

und

F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.

Die Oberfläche hat mit E und F den Wert

A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).

(3)

Werden (1) und (2) sowie die Substitutionen

u={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}

und

v={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}

in (3) eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise

A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.

Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel

A\approx 4\pi \!\left({\frac {(ab)^{1.6}+(ac)^{1.6}+(bc)^{1.6}}{3}}\right)^{0.625}\,\!.

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1.2%.

Herleitung der Formeln für Rotationsellipsoide

Für die Neugierigen:

Mit den Definitionen der elliptischen Integrale E und F lassen sich die beiden rotationssymmetrischen Spezialfälle leicht aus der allgemeinen triaxialen Formel ableiten, denn E und F werden zu elementaren Funktionen.