Diagonalmatrix

Eine quadratische $(n,n)$-Matrix $D$ heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente der Matrix außerhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind, das heißt $d_{ij}=0$, falls $i\neq j$. Diagonalmatrizen sind deshalb alleine durch die Angabe ihrer Diagonalen bestimmt und man schreibt häufig

$D={\mbox{diag}}(d_{1},d_{2},...,d_{n})$.

Bei einer Diagonalmatrix sind die Eigenwerte die Einträge auf der Diagonalen und die Eigenvektoren sind die kanonischen Einheitsvektoren. Eine quadratische Matrix $A$ heißt diagonalisierbar wenn es eine reguläre Matrix $P$ gibt, sodass $P^{-1}AP$ eine Diagonalmatrix ist. Diesen Prozess nennt man Diagonalisierung.

Diagonalisierung

Die Matrix $A$ soll diagonalisiert werden.

1. Eigenwerte $\lambda _{i}$ der Matrix bestimmen.
2. Eigenräume $E(\lambda _{i})$ zu allen Eigenwerten $\lambda _{i}$ berechnen, also folgendes Gleichungssystem lösen:

   $(A-\lambda _{i}I)\cdot {\begin{pmatrix}e_{1}\\\vdots \\e_{n}\end{pmatrix}}=0$

3. Nun ist die Diagonalform $A'$ der Matrix $A$ bezüglich der Basis $b$:

   $A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\,\,\,\,b=\{E(\lambda _{1}),...,E(\lambda _{n})\}$

Beispiel

Die durch

${\mbox{diag}}\left(1,3,5\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$

gegebene Matrix ist diagonal. Die Eigenwerte dieser Matrix sind

$\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=3,\lambda _{3}=5$

Die zugehörigen Eigenvektoren lauten

$e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Siehe auch: Jordansche Normalform