Algebra (Mengensystem)

Als Mengenalgebra, Teilmengenverband oder kurz Algebra, bezeichnet man bestimmte Mengen von Mengen. Als Mengenalgebra bezeichnet man auch, der Ambivalenz des Begriffs Algebra folgend, das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt.

Formale Definition

Jede Mengenalgebra Ξ ist Teilmenge der Potenzmenge Π(X) einer Grundmenge X. Folgende Axiome müssen gelten:

(1) Ξ enthält die Grundmenge X;

(2) mit jeder Menge A enthält Ξ auch das Komplement X\A;

(3) mit jeden zwei Mengen A, B enthält Ξ auch deren Vereinigung A∪B.

Das zweite und dritte Axiom können auch so formuliert werden: Ξ ist abgeschlossen bezüglich der Komplementbildung und Vereinigung.

Verwandte Strukturen

Wenn man Axiom (3) verschärft und die Abgeschlossenheit auch gegenüber abzählbar unendlich vielen Vereinigungen fordert, erhält man die Definition einer σ-Algebra.

Wenn man auf Axiom (1) verzichtet, erhält man die Definition eines Mengenrings.

Jede Mengenalgebra ist eine boolesche Algebra.

Eigenschaften

Aus den Axiomen folgt, dass Ξ auch abgeschlossen bezüglich der Schnittmengenbildung ist. Man kann auch umgekehrt die Abgeschlossenheit unter Schnittmengenbildung axiomatisch fordern und daraus auf die Abgeschlossenheit unter Vereinigung schließen.

Eine Mengenalgebra bildet eine Monoid (Ξ, ∪, ø) mit der Vereinigung als innerer Verknüpfung und der Nullmenge als neutralem Element. Sie bildet ein weiteres Monoid (Ξ, ∩, X) mit dem Schnitt als Verknüpfung und der Grundmenge als neutralem Element.

Aufgrund der Existenz eines Komplements bildet eine Mengenalgebra überdies einen distributiven Verband.