Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben in der Strömungsmechanik bzw. der Strömungslehre das Verhalten von Strömungen in Flüssigkeiten und Gasgemischen (Fluiden). Sie sind ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Die Gleichungen sind benannt nach dem Franzosen Claude Louis Marie Henri Navier und dem Briten George Gabriel Stokes. Beide hatten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts (1827 bzw. 1845) den Impulssatz für Newtonsche Fluide, wie Wasser, Bier oder Luft in differentieller Form gefunden, also die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Druck als Funktion von Ort und Zeit.

In Vektorschreibweise werden sie zusammengefasst zu der Gleichung:

$\rho \left({\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\eta \Delta \mathbf {u} +(\lambda +\eta )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )$.

In Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung (Erhaltungssatz der Masse)

${\partial \mathbf {\rho } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {\rho u} )=0$

ergibt sich bei konstanter Dichte ein partielles Differentialgleichungssystem mit vier Gleichungen für die vier Größen Geschwindigkeit $\mathbf {u} (x,t)=(u,v,w)$ und Druck $p(x,t)$. Hierbei werden die Stoffkonstanten $\lambda$ und $\eta$ als bekannt und konstant im Strömungsfeld vorausgesetzt. Der Vektor $\mathbf {f}$ beschreibt äußere Kräfte wie beispielsweise die Gravitation.

Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen. Dieses Problem gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts.

In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung $\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$. Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen dieser Term verschwindet. Allgemeine Lösungen findet man mit numerischen Näherungsverfahren der CFD (Computational Fluid Dynamics).

Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Die oben beschriebenen Gleichungen sind eigentlich nur ein Spezialfall der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Diese gelten für ein allgemeines ideales Gas. Sie bestehen aus den Gleichungen der Massenerhaltung

$\partial _{\hat {t}}{\hat {\rho }}+\nabla _{\hat {x}}\cdot {\hat {\textbf {m}}}=0,$

der Impulserhaltung

$\partial _{\hat {t}}{\hat {m_{i}}}+\sum _{j=1}^{2}\partial _{{\hat {x}}_{j}}({\hat {m_{i}}}{\hat {v_{j}}}+{\hat {p}}\delta _{ij})=\sum _{j=1}^{3}\partial _{{\hat {x}}_{j}}{\hat {S}}_{ij}+{\hat {\rho }}{\hat {g}}_{i},\qquad i=1,2,3$

wobei $\delta _{ij}$ das Kroneckersymbol ist,

${\hat {S}}_{ij}={\hat {\mu }}[(\partial _{{\hat {x}}_{j}}{\hat {v}}_{i}+\partial _{{\hat {x}}_{i}}{\hat {v}}_{j})-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\sum _{k=1}^{3}\partial _{{\hat {x}}_{k}}{\hat {v}}_{k}],\qquad i,j=1,2,3$

den viskosen Stress-Tensor beschreibt, wobei ${\hat {\mu }}$ die dynamische Viskosität und ${\hat {g}}_{i}$ die i'te Komponente des Gravitationsvektors ist, und der Energieerhaltung

$\partial _{\hat {t}}{\hat {\rho }}{\hat {E}}+\nabla _{\hat {x}}\cdot ({\hat {H}}{\hat {\textbf {m}}})=\sum _{j=1}^{3}\partial _{{\hat {x}}_{j}}\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {S}}_{ij}{\hat {v}}_{i}-{\hat {W}}_{j}\right)+{\hat {q}}-{\hat {\rho }}{\hat {\textbf {u}}}\cdot {\hat {\textbf {g}}},$

wobei ${\hat {H}}={\hat {E}}+{\frac {\hat {p}}{\hat {\rho }}}$ die Enthalpie ist und ${\hat {W}}_{j}$ der Hitzefluss ist, der mittels des thermalen Wärmeleitkoeffizienten ${\hat {\kappa }}$ als

${\hat {W}}_{j}=-{\hat {\kappa }}\partial _{{\hat {x}}_{j}}{\hat {T}}$

geschrieben werden kann. Die totale Energie pro Einheitsmasse ${\hat {E}}$ ist die Summe von innerer, kinetischer und potentieller Energie:

${\hat {E}}={\hat {e}}+{\frac {1}{2}}|{\hat {\textbf {u}}}^{2}|+{\hat {h}}|{\hat {\textbf {g}}}|.$

Wir haben also vier Gleichungen für fünf Variablen und das System wird durch die Zustandsgleichung abgeschlossen:

${\hat {p}}=(\gamma -1){\hat {\rho }}({\hat {E}}-{\frac {1}{2}}|{\hat {\textbf {u}}}|^{2}-{\hat {h}}|{\hat {\textbf {g}}}|).$

Die thermodynmischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden:

${\hat {T}}={\frac {\hat {p}}{{\hat {\rho }}{\hat {R}}}}.$

Schließlich hängen der adiabatische Exponent $\gamma$ und die Gaskonstante ${\hat {R}}$ durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck ${\hat {c}}_{p}$ respektive konstantes Volumen ${\hat {c}}_{p}$ durch

$\gamma ={\frac {{\hat {c}}_{p}}{{\hat {c}}_{v}}}$

und

${\hat {R}}={\hat {c}}_{p}-{\hat {c}}_{v}$

zusammen. Unter der Annahme, dass die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, erhält man die Gleichungen für inkompressible Fluide zurück. Die Dächer auf den Variablen sollen darauf hinweisen, dass es sich um dimensionsbehaftete Größen handelt. Eine Entdimensionalisierung liefert diverse dimensionslose Kennzahlen.

Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Werden die Terme zweiter Ordnung wie Reibung vernachlässigt (η=0 ; λ=0), so erhält man die Euler-Gleichungen (hier für den inkompressiblen Fall)

$\rho \left({\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p$.

Literatur

• Alexander J. Chorin, Jerold E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Third Edition 1998, Springer Verlag
• Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 1 Incompressible Models, 1996, Oxford Science Publications
• Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 2 Compressible Models, 1998, Oxford Science Publications