Bézierkurve

Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën entwickelt und sind wichtige Werkzeuge im CAGD. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Definition

Eine $n$-dimensionale Bézierkurve ist eine Kurve der Form

$C(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i,n}(t)$, mit den Kontrollpunkten $P_{i}$ und den Bernsteinpolynomen $B_{i,n}(t)$ und $0\leq t\leq 1$.

Am gebräuchlichsten sind kubische ($n=3$) Bézierkurven. Während es prinzipiell auch andere Darstellungen für Kurven gibt, eignet sich die Bernsteinform am besten für den interaktiven Entwurf am Bildschirm, da sich die Bézierkurve an das Polygon der Kontrollpunkte (das Kontrollpolygon) annähert und so leicht intuitiv zu bearbeiten ist.

Weitere wichtige Eigenschaften jeder Bézierkurve:

• sie geht genau durch die Endpunkte $P_{0}$ und $P_{n}$.
• sie liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons.
• in den Endpunkten ist sie tangential zu $P_{1}-P_{0}$ und $P_{n}-P_{n-1}$.
• eine Linie schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet.
• eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve auch dadurch angewendet werden, dass man sie auf deren Kontrollpolygon anwendet ("affine Invarianz").
• liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).

Anwendung

In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven und Flächen im Rahmen des Computer Aided Designs (CAD) und zur Beschreibung von Schriften (z.B. Postscript Type1 und CFF-Opentype) verwendet.

Die Auswertung einer Bézierkurve in einem bestimmten Punkt kann schnell mit Hilfe des de Casteljau-Algorithmus erfolgen.

Beispiele

Lineare Bézierkurven

Zwei Kontrollpunkte P₀ und P₁ bestimmen eine lineare Bézierkurve, die einer Geraden zwischen diesen beiden Punkten entspricht. Die Kurve wird angegeben durch

$C(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$.

Quadratische Bézierkurven

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion C(t) für die Punkte P₀, P₁ und P₂ verfolgt wird:

$C(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$.

Kubische Bézierkurven

Vier Punkte (P₀, P₁, P₂ und P₃) bestimmen eine kubische Bézierkurve. Die Kurve beginnt bei P₀ und geht in Richtung P₁ und dann aus Richtung P₂ zu P₃. Im allgemeinen geht die Kurve nicht durch P₁ und P₂ - diese Punkte dienen nur der Richtung. Der Abstand zwischen P₀ und P₁ beispielsweise bestimmt nur, "wie lange" sich die Kurve in Richtung P₁ bewegt, bevor sie in Richtung P₄ läuft.

$C(t)=P_{0}(1-t)^{3}+3P_{1}t(1-t)^{2}+3P_{2}t^{2}(1-t)+P_{3}t^{\mbox{ , }}t\in [0,1]$.