Parabel (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Parabel ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Erzeugenden des Kegels ist. (Wenn die Ebene selbst eine Tangentialebene des Kegels ist, erhält man eine degenerierte Parabel, die einfach eine Gerade ist.)

Darstellungsformen

Neben der Definition als Kegelschnitt, gibt es noch weitere Möglichkeiten eine Parabel festzulegen:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte X, deren Abstand zu einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer Geraden (der Leitgeraden l) gleich ist.

$par=\left\{X|{\overline {XF}}={\overline {Xl}}\right\}$

Jener Punkt, der genau in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel A der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird Achse der Parabel genannt. Sie ist auch die einzige Symmetrieachse.

In einem kartesischen Koordinatensystem kann man eine Parabel, bei geeigneter Wahl der Lage des Koorinatensystems, mit der Gleichung

y = 2px² bzw y = ax²

beschreiben.

Eigenschaften

Da die Parabel nur von einem Parameter abhängig ist (dem Abstand von Leitgerade und Brennpunkt bzw. den Parameter p in der Gleichung), sind alle Parabeln ähnlich. Die Unterschiede in der Krümmung entstehen nur durch das Vergrößerungsverhältnis.

Parabeln können als Grenzfall der Ellipse angesehen werden, wenn ein Brennpunkt fix ist, und der andere beliebig weit in eine Richtung entfernt wird.

Wird ein Strahl, der parallel zu Achse einfällt an der Parabel gespiegelt, geht der resultierende Strahl durch den Brennpunkt, und umgekehrt. Diese Eigenschaft, die auch ein Drehparaboloid hat, also jende Fläche, die entsteht wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht, wird häufig in der Technik ausgenutzt, siehe Parabolspiegel

Jedes Teilchen, dass sich in einem gleichförmigen Gravitationsfeld ohne Einwirkung anderer Kräfte bewegt (zum Beispiel ein Baseball, wenn man den Luftwiderstand ignoriert) folgt eine parabelförmigen Bahn

Parabeln als Funktionsgraphen

Manchmal werden alle Graphen von Polynomfunktionen als Parabeln bezeichnet. Zum Beispiel ist der Graph eines Polynoms von Grad 4 eine Parabel 4. Ordnung. Mit der Definition der Parabel als Kegelschnitt stimmen nur Parabeln zweiter Ordnungs, also f(x) = ax², überein.

Weblinks

• http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html Mathworld - Parabel (engl.)