Varianz (Stochastik)

Die Varianz ist in der Statistik ein Streuungsmaß, d.h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable $X$ von ihrem Erwartungswert $E(X)$. Ihr Nachteil ist, dass sie eine andere Einheit als die Daten besitzt. Man verwendet daher oft auch die Standardabweichung, die als Quadratwurzel aus der Varianz definiert ist. Als Bezeichnung für die Varianz wird meist der Ausdruck $V(\ldots )$ oder ${\mathit {Var}}(\ldots )$ verwendet.

Siehe auch: Varianzanalyse

Definition

Definiert ist die Varianz als Durchschnitt der Abweichungsquadrate vom Durchschnitt eines statistischen Merkmals.

Man unterscheidet zunächst:

• Varianz einer Zufallsvariablen.

Das ist die durchschnittliche quadratische Abweichung der Ausprägungen vom arithmetischen Mittel in der Grundgesamtheit.

• Stichprobenvarianz.

Das ist die Varianz von Beobachtungswerten, die als Stichprobe einer Grundgesamtheit entstammen. Diese Varianz wird in der deskriptiven Statistik als Maß für die Streubreite von Daten verwendet. Als inferentielle Varianz dient sie zur Schätzung der unbekannten Varianz in der Grundgesamtheit.

Für die Grundgesamtheit errechnet sich die Varianz V(X) einer diskreten Zufallsvariablen als

$V(X)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i},$

wenn X die Werte x₁, x₂, ... mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂, ... annehmen kann.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist die Varianz über das Integral bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x), so ist die Varianz

$V(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-E(X))^{2}f(x)dx.$

Man bezeichnet sie auch als zweites zentrales Moment.

Die Stichprobenvarianz ist unter Standardabweichung oder Schätzen und Testen näher erläutert.

Rechenregeln

Verschiebesatz von Steiner

$V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)=E(X^{2})-\left(E(X)\right)^{2}$

Lineare Transformation

$V(kX+d)=k^{2}V\left(X\right)$

Summe von Varianzen

$V(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}V(X_{i})+2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}COV(X_{i},X_{j})$

Beispiele

Diskrete Zufallsvariable

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit den Wahrscheinlichkeiten

i	1	2	3
xi	-1	1	2
f(xi)	0,5	0,3	0,2

Die Varianz berechnet sich dann als

$V(X)=(-1-0,2)^{2}\cdot 0,5+(1-0,2)^{2}\cdot 0,3+(2-0,2)^{2}\cdot 0,2=1,56$

wobei der Erwartungswert

$E(X)=-1\cdot 0,5+1\cdot 0,3+2\cdot 0,2=0,2$

beträgt. Mit dem Verschiebungssatz erhält man entsprechend

$V(X)=(-1)^{2}\cdot 0,5+1^{2}\cdot 0,3+2^{2}\cdot 0,2-0,2^{2}=1,56\ .$

Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\mbox{ fuer }}1\leq x\leq e\\0&{\mbox{ sonst }}\end{cases}}$

Mit dem Erwartungswert

$E(X)=\int _{1}^{e}x\cdot {\frac {1}{x}}dx=e-1$

berechnet sich die Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes als

$V(X)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)dx-(E(X))^{2}=\int _{1}^{e}x^{2}\cdot {\frac {1}{x}}dx-(e-1)^{2}$

$\qquad =\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{e}-(e-1)^{2}={\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}-(e-1)^{2}$

Speziell: Binomialverteilte Zufallsvariable

Die Varianz beim 500-maligem Würfeln und der Zufallsgröße X: Anzahl der Einsen ist

$n\cdot p\cdot (1-p)=500\cdot {1 \over 6}\cdot {5 \over 6}$

mit p als Anteil der Kugeln erster Sorte und n als Zahl der Versuche.

Verweise

Siehe auch: Kovarianz, Parameter (Statistik), Moment (Statistik), Momenterzeugende Funktion, Charakteristische Funktion

Weblinks

http://mathworld.wolfram.com/Variance.html