Benutzer:Schwedenhagen/Spielwiese

Diese Seite möchte ich zum Testen meiner Beiträge nutzen.

--Schwedenhagen 20:58, 12. Dez. 2007 (CET)

Test 1

Entwurf zur Corioliskraft

Die auf einen sich im rotierenden Bezugssystem bewegenden Körper wirkende Corioliskraft ist das Produkt seiner Masse und der Coriolisbeschleunigung. Die Coriolisbeschleunigung ist dann von Null verschieden, wenn zwischen dem Vektor der Rotationsgeschwindigkeit des rotierenden Bezugssystems und dem Vektor der Geschwindigkeit des Körpers im rotierenden Bezugssystem ein von null verschiedener Winkel existiert. In bewegten Flüssigkeiten betrachtet man an Stelle der Corioliskraft die Corioliskraftdichte. Die auf das zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort befindliche Volumenelement einer bewegten Flüssigkeit wirkende Corioliskraftdichte ist das Produkt aus der Masse des Volumenelements und der durch den Geschwindigkeitsvektor des Volumenelementes bestimmten Coriolisbeschleunigung dividiert durch das Volumen des Volumenelements.

Erklärung

Im Rahmen der klassischen Mechanik besagt das zweite Newtonsche Axiom , daß die zeitliche Änderung des Impulses eines Volumenelement endlicher Masse gleich der Summe der auf dieses Volumenelement einwirkenden eingeprägten Kräfte ist. Dabei werden der Ort ${\vec {r}}_{i}$ und die Geschwindigkeit ${\vec {v}}_{i}$ des Volumenelementes in einem Inertialsystem gemessen. Bewegt sich das Volumenelement in einem rotierenden Bezugssystem, in dem sein Ort ${\vec {r}}_{r}$ und seine Geschwindigkeit ${\vec {v}}_{r}$ gemessen werden, treten bei der Beschreibung der Impulsänderung im Inertialsystem auf der Grundlage seiner Koordinaten im rotierenden Bezugssystem zusätzliche Scheinkräfte auf. In einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierendem Bezugssystem sind das die von ${\vec {r}}_{r}$ abhängende Zentrifugalkraft und die von ${\vec {v}}_{r}$ abhängende Corioliskraft. Letztere wird seit 1835 nach dem französischen Physiker Gaspard Gustave de Coriolis Corioliskraft genannt, obwohl ihre mathematische Beschreibung schon in der von Laplace (1778, 1778) aufgestellten Gezeitentheorie erfolgte. Die klassische Mechanik in rotierenden Bezugssystemen ist insbesondere für das Verständnis der Bewegungsvorgänge auf Himmelskörpern wichtig. So resultieren die Gezeitenkräfte aus den geringfügigen Ungleichgewichten zwischen der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft außerhalb der Schwerpunkte zweier Himmelskörper. Die Corioliskraft ermöglicht auf rotierenden Himmelskörpern Bewegungszustände ihrer gasförmigen und flüssigen Sphären, die auf nicht rotierenden Körpern nicht existieren. Dazu gehören die geostrophische und die Ekmanströmung die aus den Gleichgewichten zwischen der zur Erdoberfläche parallelen Komponente der Corioliskraft und dem horizontalen Druckgradienten bzw. der Scherkraft zwischen den turbulenten Schichten in der Atmosphäre und dem Ozean resultieren. Darüber hinaus ermöglicht die Existenz der Corioliskraft mehrere charakteristische transiente Bewegungsformen wie Inertialschwingungen und -Wellen, Kelvinwellen und Rossbywellen. Die Corioliskraft ist auch bei der Konstruktion und Bemessung von rotierenden technischen Systemen von Bedeutung, bei denen innerhalb des rotierenden Systems eine Bewegung mit einer Komponente senkrecht zur Rotationsachse erfolgt.

Berechnung

Ein starrer Punkt ${\vec {r}}_{r}$ in einem mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\Omega }}$ um die durch O gehende Achse rotierendes Koordinatensystem hat die Geschwindigkeit ${\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}_{r}$.

Wir betrachten ein gegenüber dem Inertialsystem mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\Omega }}$ rotierendes Koordinatensystem. Der Einheitsvektor der Winkelgeschwindigkeit ist parallel zur Rotationsachse des Koordinatensystems und die Drehrichtung entspricht der Rechte-Hand-Regel, wenn der Daumen in Richtung des Einheitsvektors zeigt. Dann hat ein im rotierenden Koordinatensystem feststehenden Punkt mit der Position ${\vec {r}}_{r}$ die Geschwindigkeit ${\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}_{r}$ im Inertialsystem, wobei $\times$ das Kreuzprodukt zwischen den entsprechenden Vektoren symbolisiert. Wenn der Punkt ${\vec {r}}_{r}$ sich gegenüber dem rotierenden Koordinatensystem bewegt, ist seine Geschwindigkeit relativ zum Inertialsystem gegeben durch

${\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}_{r}}{dt}}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}_{r}$

Die Beschleunigung im Inertialsystem ergibt sich dann durch Wiederholung dieser Operation

${\frac {d^{2}{\vec {r}}_{i}}{dt^{2}}}=\left({\frac {d}{dt}}+{\vec {\Omega }}\times \right)\left({\frac {d}{dt}}+{\vec {\Omega }}\times \right){\vec {r}}_{r}$

${\frac {d^{2}{\vec {r}}_{i}}{dt^{2}}}=\left({\frac {d^{2}{\vec {r}}_{r}}{dt^{2}}}+{\frac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}_{r}+2{\vec {\Omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}_{r}}{dt}}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}_{r}\right)$

Wir betrachten ein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierendes Koordinatensystem, so daß der zweite Term auf der rechten Seite verschwindet. Dies ist auf Grund der Erhaltung des Drehimpulses eine zulässige Annahme. Dann gibt es zusätzlich zur Beschleunigung im rotierenden Koordinatensystem zwei weitere Beiträge zur Beschleunigung . Die durch den dritten Term auf der rechten Seite der obigen Gleichung beschriebene Beschleunigung ist die Coriolisbeschleunigung und wirkt nur auf Volumenelemente, die sich im rotierenden Bezugssystem mit der Geschwindigkeit ${\frac {d{\vec {r}}_{r}}{dt}}$ bewegen. Der letzte Term beschreibt die Zentrifugalbeschleunigung, die nur vom Ort ${\vec {r}}_{r}$ im rotierenden Bezugsystem abhängt, also auf alle dort außerhalb der Rotationsachse ruhende Volumenelemente wirkt.

Corioliskraft auf rotierenden Himmelskörpern

Die Formen rotierender Himmelskörper und die Bewegungen der sie umgebenden gasförmigen und flüsssigen Sphären werden wesentlich durch die auf einer rotierenden Kugel wirkenden Scheinkräfte beeinflußt. Die Zentrifugalkräfte überlagern sich mit der Schwerkraft des rotierenden Himmelskörpers und führen zu seiner Abplattung an den Polen, siehe zum Beispiel Erde. Im Falle von benachbarten Himmelskörpern, deren Bahnen durch das Gleichgewicht zwischen Gravitationskraft und Zentrifugalkraft in ihren Schwerpunkten bestimmt ist, führt die Überlagerung von Schwerkraft und Zentrifugalkraft zwischen den beiden Himmelskörpern außerhalb ihrer Schwerpunkte zu geringfügigen Abweichungen vom Gleichgewicht, den Gezeitenkräften, die zu Deformationen der plastischen Teile und zu Gezeitenströmungen in den flüssigen Sphären auf beiden Himmelskörpern führen.

Die Corioliskraft bestimmt die Bewegungen der flüssigen und gasförmigen Sphären rotierender Himmelskörper wesentlich. Zur Beschreibung der Bewegungsvorgänge auf der Kugel als Ganzes werden die Bewegungsgleichungen vorteilhaft in Kugelkoordinaten, auf der Erde in einer speziellen Form der Kugelkoordinaten, den geographischen Koordinaten beschrieben. Will man Bewegungsvorgänge beschreiben, die nur in relativ dünnen Schichten verglichen mit dem Radius der Kugel und einen begrenzten Bereich der Kugeloberfläche umfassen, wird häufig ein kartesisches Koordinatensystem gewählt, dessen Ursprung auf einer Äquipotentialfläche fixiert wird, so daß die vertikale Achse entgegen der Richtung der Schwerkraft zeigt ${\vec {k}}$, die x-Achse nach Osten gerichtet ist ${\vec {i}}$ und die y-Achse nach Norden zeigt ${\vec {j}}$.

Kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung auf der geographischen Breite $\varphi$ eines rotierenden Himmelkörpers (f-Fläche) von Westen aus gesehen

Dieses Koordinatensystem wird in der Meteorologie und Ozeanographie häufig angewandt und f-Ebenen-Approximation (f-plane approximation im englischen Sprachraum) genannt. Dabei wird der Gravitation im Ursprung des Koordinatensystem die auf dem Breitenkreis $\varphi$ herrschende Zentrifugalebschleunigung überlagert und zu einer resultierenden Schwerebeschleunigung zusammengefaßt. Der Geschwindigkeitsvektor sei in kartesischen Koordinaten ${\vec {v}}=u{\vec {i}}+v{\vec {j}}+w{\vec {k}}$. Wenn der Ursprung des Koordinatensystems sich auf dem Breitenkreis $\varphi$ befindet ist der Vektor der Winkelgeschwindigkeit in kartesischen Koordinaten

${\vec {\Omega }}=\Omega \left(0{\vec {i}}+\cos \varphi {\vec {j}}+\sin \varphi {\vec {k}}\right)$.

Dann ist die Coriolisbeschleunigung in kartesischen Koordinaten ausgedrückt

$2{\vec {\Omega }}\times {\vec {v}}=2\Omega \left(\left(w\cos \varphi -v\sin \varphi \right){\vec {i}}-\left(0w-u\sin \varphi \right){\vec {j}}+\left(0v-u\cos \varphi \right){\vec {k}}\right)$

Auf Himmelskörpern sind die flüssigen und gasförmigen Sphären oft sehr dünn, so daß die vertikale Geschwindigkeitskomponente w gegenüber den horizontalen Komponenten vernachlässigt werden kann. Mit dem Coriolisparameter $f=2\Omega \sin \phi$ ergibt sich dann näherungsweise

$2{\vec {\Omega }}\times {\vec {v}}=-fv{\vec {i}}+fu{\vec {j}}-2\Omega u\cos \varphi {\vec {k}}$

Nach dieser Formel ist die Coriolisbeschleunigung Null für rein senkrechte Bewegungen an den Polen und für rein meridionale Bewegung am Äquator. Die horizontalen Bewegungen auf der f-Fläche erzeugen außerhalb des Äquators horizontale Komponenten der Corioliskraft, deren Resultierende senkrecht zur Projektion des Geschwindigkeitsvektors ${\vec {v}}$ auf die f-Fläche gerichtet ist. Am Äquator verschwinden die horizontalen Komponenten der Corioliskraft. Aus der obigen Formel folgt, daß die zonale Geschwindigkeitskomponente u (positiv in West-Ost Richtung) außer am Pol eine vertikale Komponente der Coriolisbeschleunigung erzeugt, die sich mit der Erdbeschleunigung überlagert. Die Bewegung eines Körpers nach Osten macht ihn leichter, Bewegung nach Westen macht ihn schwerer. Die vertikale Komponente der Coriolisbeschleunigung in Richtung der Erdbeschleunigung ist bei üblichen Geschwindigkeiten vernachlässigbar klein gegenüber der Wirkung der Gravitation. Ein am Äquator mit Schallgeschwindigkeit nach Osten fliegendes Flugzeug würde durch die Vertikalkomponente der Corioliskraft um annähernd $10^{-3}$ seines Gewichts leichter.

Die f-Ebenen-Approximation schließt die mathematische Beschreibung gewisser, auf einer rotierenden Kugel möglichen Bewegungsformen aus. Die Beschreibung dieser Bewegungsvorgänge wird durch die Taylorentwicklung erster Ordnung des Coriolisparameters in der Form $f=f_{0}+{\frac {df}{dy}}=f_{0}+\beta y$ im Koordinatenursprung der f-Fläche möglich. Diese Erweiterung der f-Fläche Approximation wird $\beta$-Flächen Approximation genannt. Mit der $\beta$-Flächen Approximation können zum Beispiel Rossbywellen in der mittleren Breiten und äquatoriale Wellen auf rotierenden Himmelkörpern beschrieben werden.

Veranschaulichung

Kugel auf einem Drehteller

Der obere Teil der Animation zeigt die Bewegung einer Kugel vom Standpunkt eines Beobachters in einem Inertialsystem. Die Kugel bewegt sich auf einem Drehteller ohne Einwirkung eingeprägter Kräfte mit konstanter Geschwindigkeit ${\vec {v}}_{o}$ von der Mitte nach außen. Sie entfernt sich also von der Drehachse auf einer geraden Linie.

Der untere Teil zeigt dieselbe Szene aus der Perspektive eines Beobachters auf dem Teller, der z.B. auf dem roten Punkt steht und mitrotiert. Für ihn dreht sich der Teller nicht. Im oberen Teil sieht man, dass sich die Kugel dem roten Punkt erst nähert und dann seitlich von ihm entfernt. Unten beschreibt sie daher eine gekrümmte Bahn. Die Krümmung entspricht einer Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung. Diese wird für den Beobachter unten durch eine Scheinkraft, die Corioliskraft, verursacht.

Da sich die Kugel von der Drehachse weg bewegt, wirkt die Corioliskraft entgegen der Rotationsrichtung. Während sich die Scheibe nach links dreht, macht die Kugel für den Beobachter auf der Scheibe die ganze Zeit eine Rechtskurve.

Würde man auf dem Drehteller von der Mitte nach außen eine kleine gerade Wand aufstellen, dann würde sich die Kugel an dieser abstützen und gerade nach außen rollen. Die Kraft, mit der die Kugel an diese Wand gedrückt wird, entspricht der Corioliskraft.

Corioliskraft in der Atmosphäre und dem Ozean

Gleichgewicht zwischen den horizontalen Komponenten der Corioliskraft und des Druckgradienten am Beispiel eines Tiefdruckgebietes auf der Nordhalbkugel.
Rot – horizontale Komponente der Corioliskraft
Blau – Druckgradientkraft

Für Bewegungen in der Atmosphäre und in den Ozeanen der Erde sind die Komponenten der Corioliskraft tangential zur Erdoberfläche von entscheidender Bedeutung. Zusammen mit den horizontalen Komponenten der Druckgradientkraft bilden sie einen Gleichgewichtszustand, das geostrophische Gleichgewicht. Die anfänglich sich in Richtung des Kern eines Tiefdruckgebiets bewegenden Luftteilchen ändern unter dem Einfluß der Corioliskraft ihre Richtung und Geschwindigkeit solange, bis die resultierende horizontale Corioliskraft der sich bewegenden Luftteilchen gleich groß und entgegengesetzt der horizontalen Druckgradientkraft ist. Die Bewegung erfolgt dann auf der Nordhalbkugel entlang der Isobaren entgegen dem Uhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel im Uhrzeigersinn um den Kern eines Tiefdruckgebiets herum. Dieser geostrophischen Bewegungszustand kann sehr lange andauern, wenn die Reibungskräfte zwischen den Luftschichten schwach sind. Das geostrophische Gleichgewicht gilt auch für tropische Wirbelstürme, welche ebenfalls Tiefdruckgebiete darstellen. Luftteilchen, die anfänglich radial aus einem Hochdruckgebiet austreten, werden durch die Corioliskraft ebenfalls solange abgelenkt, bis die Corioliskraft der sich bewegenden Luftteilchen mit dem Druckgradienten des Hochdruckgebietes im geostrophischen Gleichgewicht ist. Hochdruckgebiete heißen Antizyklone, da der Drehsinn der Luftteilchen entlang ihrer Isobaren entgegengesetzt zu dem um die Tiefdruckgebiete ist. In den planetaren Grenzschichten führt die Reibung zwischen den Luftschichten zu einer radialen Komponente der Geschwindigkeit der Luftteilchen, die die horizontalen Druckunterschiede ausgleicht. Da die Reibung über dem festen Boden größer ist als über dem Wasser, halten sich Druckunterschiede über den Ozeanen länger als über den Kontinenten. Dies wird eindrucksvoll durch die unterschiedliche Lebensdauer tropischer Wirbelstürme über den Ozeanen und den Kontinenten deutlich. Oberhalb der planetaren Grenzschicht wird die Bodenreibung vernachlässigbar klein, was dazu führt, dass die bewegten und damit von der Corioliskraft beeinflussten Luftmassen nicht mehr zum Ausgleich der Luftdruckunterschiede in der Lage sind, sondern als geostrophischer Wind, beispielsweise als Jetstream, die atmosphärische Zirkulation bestimmen.

Kleinräumige Wirbel, wie zum Beispiel Tornados oder Kleintromben befinden sich nicht im geostrophischen Gleichgewicht. Dennoch überwiegt bei Tornados auf der Nordhalbkugel die zyklonale Rotation. Ursache ist hier das großräumige Windfeld, welches durch die Corioliskraft vorgeprägt ist.

Corioliskraft in der Astronomie

Der Flug einer Raumsonde zu einem anderen Planeten des Sonnensystems kann durch das astronomische Dreikörperproblem beschrieben werden. Die relevanten drei Körper sind die Sonne, der Zielplanet und die Raumsonde. Die Gravitationswirkung der Raumsonde auf die beiden anderen Himmelskörper wird dabei vernachlässigt. Jedoch bilden die Sonne und der Zielplanet ein rotierendes Koordinatensystem, in dem sich die Raumsonde bewegt. Daher muß bei der Berechnung der Bahn der Raumsonde neben der Überlagerung der Gravitationskräfte von Sonne und Zielplanet die auf die Raumsonde wirkende Corioliskraft berücksichtigt werden. Weiterführende Betrachtungen zu diesem Problem findet man zum Beispiel bei [1]

Einfluss der Corioliskraft auf Wasserstrudel

Eine oft anzutreffende Behauptung bezüglich der Corioliskraft bezieht sich auf das Drehverhalten eines Wasserstrudels, zum Beispiel in einer Badewanne. Wird der Abfluss geöffnet, soll sich der entstehende Strudel auf der Nordhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn bewegen, auf der Südhalbkugel entsprechend mit dem Uhrzeigersinn – ähnlich wie die Tiefdruckgebiete der Atmosphäre (siehe oben).

Tatsächlich spielt die verhältnismäßig geringe Corioliskraft in solch kleinen Dimensionen keine Rolle. Die Teilchen des kleinen Wasserstrudels ändern ihren Abstand zur Erdachse nur extrem wenig und langsam, so dass eine messbare Corioliskraft nicht auftritt. Ihre Bewegung wird eher von anderen Faktoren beeinflusst (schon existente Strömungen, Einfüllweise), so dass der behauptete Effekt nur bei äußerst peniblen Experimenten beobachtet werden könnte. Im Alltag überwiegen hingegen die zufälligen Einflüsse, unter Umständen verhält sich der Abfluss sogar als chaotisches System.

Typische Corioliskräfte des Alltags

Beispiele:

• Ein Zug von 409 t Masse fährt mit 249 km/h nach Norden (z. B. ICE3 von Frankfurt/Main nach Köln). In einer geografischen Breite von 51 Grad erfährt er eine Kraft von 3200 N nach Osten (rechts), die ein Drehmoment ausübt und den Zug nach rechts zu kippen versucht. Fährt der Zug nach Süden, erfährt er die gleiche Kraft wieder nach rechts, also diesmal nach Westen. Wenn dieser Zug 8 Wagen mit jeweils 4 Achsen hat, so muss jede ca. 100 N Corioliskraft ausgleichen um den Zug in der Schiene zu halten: Die rechten Räder erfahren dadurch eine Mehrbelastung, deren Stärke von der Lage des Wagenschwerpunktes abhängt. Linke Räder werden entsprechend entlastet.
• Die Pendelebene eines frei schwingenden Pendels dreht sich innerhalb eines siderischen Tags (23 h 56 min 4 s) um 360 Grad multipliziert mit dem Sinus der geografischen Breite (Foucaultsches Pendel). An den Polen ist das anschaulich zu erklären, dort dreht sich die Erde einfach unter dem Pendel hindurch, da dort der Aufhängungspunkt des Pendels und die Rotationsachse der Erde eine Linie bilden.
• Kranführer müssen ebenfalls die Corioliskraft beachten: Hängt an einem Turmdrehkran eine Last und wird diese in radialer Richtung entlang des Auslegers bewegt und dreht sich der Kran dabei um die eigene Achse, so ist die Corioliskraft horizontal rechtwinklig zum Ausleger gerichtet. Aus Sicht des Kranführers im Turm wird die Last dabei seitlich ausgelenkt und zwar gegen die oder in Drehrichtung, je nachdem ob die Last vom Turm weg oder zu ihm hin bewegt wird.

Literatur

Coriolis, G. (1835). Memoire sur les equations du mouvement relatifs des systems de corps. J. Ec. Polytech. (Paris) 15, 142

Gill, A. E. (1982). Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press Inc. New York, London, Tokyo

Laplace, P. S. (1778/1779). Recherches sur plusieurs points du system du monde. Mem. Acad. R. Sci. Paris, 1775; 75-182 (publ. 1778), 1776; 117-267, 525-552 (publ. 1779)

Weblinks

Commons: Corioliskraft – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Über die Corioliskraft in der Atmosphäre

• Warum strömt und zirkuliert Luft? Was sind die treibenden Kräfte?
• WEBGEO-Modul: Bezugssysteme und die Corioliskraft, WEBGEO-Modul: Einfache Experimente zur Corioliskraft – WEBGEO: Das eLearning Portal für Geographie und Nachbarwissenschaften

Über den Einfluss der Corioliskraft auf Wasserstrudel

• Stimmt's? Seltsamer Strudel (aus der Zeit)
• Bad Coriolis (engl.)
• Coriolis-FAQ aus de.sci.physik (pdf-Datei)
• anschauliche animierte Grafik

Videos

• Messvideo zur Zentrifugal- und Coriolis-Beschleunigung (ca. 20 MB) (AG Optische Festkörperspektroskopie und Didaktik der Physik, TU Kaiserslautern)

Test 2

Entwurf zur Trägheitsschwingungen

Die Trägheitsschwingung, auch Inertialschwingung genannt, ist eine charakteristische transiente Bewegungsform des Wassers in einem unbegrenzten Ozean auf der rotierenden Erde, die durch das Gleichgewicht von Trägheitskraft und Corioliskraft bestimmt ist. Die Trägheitsschwingung ist der Spezialfall der Poincaré-Welle mit unendlich großer Wellenlänge.

Mathematische Beschreibung

Hier sei ein einfaches Beispiel betrachtet, bei dem das Wasser in der oberen Schicht des Ozeans gleichförmig von der Oberfläche z=0 bis zur Tiefe z=-h zum Zeitpunkt t=0 durch einen plötzlichen Impuls großmaßstäblich, d.h. räumlich konstant, nach Osten auf die Geschwindigkeit $u_{0}$ beschleunigt wird. Großmaßstäblich bedeutet hier, daß der anregende Impuls über ein Gebiet mit einem Durchmesser von wesentlich mehr als einem Rossby-Radius konstant sein muß. Die Bewegungsgleichungen für die Wasserteilchen lauten dann unter Vernachlässigung der Reibung

${\frac {du}{dt}}-fv=u_{0}\Theta \left(z+h\right)\delta (t)$

${\frac {dv}{dt}}+fu=0$

Hier sind u, v die Geschwindigkeitskomponenten nach Osten und Westen, f der Coriolisparameter und $\delta (t)$ die Dirac'sche Deltafunktion. Die Komponenten der Geschwindigkeit haben dann den folgenden Verlauf

$u(t)=\Theta \left(t\right)u_{0}\Theta \left(z+h\right)\cos \left(ft\right)$

$v(t)=-\Theta \left(t\right)u_{0}\Theta \left(z+h\right)\sin \left(ft\right)$

Eigenschaften

Bahn eines Oberflächendrifters im tropischen Südatlantik, geformt durch geostrophische und windgetriebene Strömungen sowie durch Trägheitsschwingungen.

In der oberflächennahen Schicht des Ozeans rotiert der resultierende Geschwindigkeitsvektor, sprungförmig mit t=0 beginnend, mit konstantem Betrag auf der Nordhalbkugel der Erde im Uhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn mit der Kreisfrequenz $f={\frac {2\pi }{T_{i}}}$. $T_{i}$ ist die Periode der Trägheitsschwingung $T_{i}={\frac {2\pi }{2\Omega \sin \phi }}$ auf dem Breitenkreis $\Phi$. Der tiefe Ozean verbleibt unterhalb von z<-H in Ruhe, da die Oberflächenströmung frei von Divergenzen ist und somit keine horizontalen Druckgradienten aufgebaut werden, die die tiefen Schichten in Bewegung setzen können.

Die Wasserteilchen bewegen sich in der oberflächennahen Schicht auf Kreisen mit dem Radius $R={\frac {u_{0}}{f}}$. Die charakteristischen Geschwindigkeiten haben in weiten Teilen des Ozeans die Größenordnung $O(10^{-1}m/s)$. Der Coriolisparameter hat in den mittleren Breiten die Größenordnung f = $O(10^{-4}1/s)$. Daraus folgt für die Größenordnung des Radius der Trägheitkreise R=O(1 km). In tropischen Breiten ist der Coriolisparameter eine Größenordnung kleiner. Der Trägheitsradius beträgt dort 10 km.

Geschwindigkeitskomponenten eines Oberflächendrifters im tropischen Südatlantik zwischen 8° und 9°S. Die lokale Trägheitsperiode beträgt 3.1 Tage.

Beobachtungen und Vorkommen

Trägheitsschwingungen wurden 1932 erstmals von Gustafson und Otterstedt in der Ostsee beobachtet. Seit dem ist ihre Erscheinung in fast allen Ozeanen und Randmeeren nachgewiesen worden. Werden Trägheitsschwingungen in begrenzten Meeren angeregt, entstehen an den Küsten zwangsläufig divergente Strömungen, da die Strömung an der Küste nicht senkrecht zur selben gerichtet sein kann. Die dabei entstehenden Druckgradienten regen unter anderem eine barotrope Poincare-Welle an, die von der Küste in den Ozean abstrahlt. Dabei stellt sich hinter deren Front eine Strömung ein, die die mit den Trägheitsschwingungen verbundenen Wasserbewegungen derart modifiziert, daß der Wassertransport der gesamten Wassersäule senkrecht zum Ufer Null ist. Durch die Poincare-Welle wird somit der tiefe Ozean in Bewegung gesetzt. Die Front der barotropen Poincare-Welle breitet sich von der Küste mit der Geschwindigkeit $c={\sqrt {gH}}$ in den Ozean aus, so daß selbst im Stillen Ozean in der Größenordnung von einem Tag die Wellenfront das gegenüber liegende Ufer erreicht. Praktisch kann somit eine reine Trägheitsschwingung in der Deckschicht auf der Erde nur über maximal eine Trägheitsperiode existieren. Danach ist auch der tiefe Ozean in eine zur Oberflächenschicht gegenläufige Bewegung gesetzt. Die Bewegung in der Tiefenschicht ist im Ozean im allgemeinen sehr schwach, da sich ihre Amplitude zu der in der Deckschicht wie h/(H-h) verhält, wenn H die Wassertiefe des Ozeans ist.

Literatur

Gustafson , T. and B. Otterstedt (1932). Observations de courants dans la Baltique 1931. Svenska Hydrografisk-Biologiska Kommissionens Skrifter, Serie Hydrografi XIII, 3-14

Kat.:Ozeanologie Kat.:Strömungen und Wellen Kat.:Ozeanografie

Kopie Ekman-Transport

Überlegungen von Vagn Walfrid Ekman, wie die Corioliskraft und vertikale Reibung die Wasserströmung beeinflussen (siehe Ekman-Spirale) führen zu zwei wichtigen Ergebnissen:

• die Ekman-Tiefe, also die Tiefe des direkten Einflusses der Windreibung auf Strömungen im Ozean
• Ekman-Transport

Als Ekman-Transport bezeichnet man die mittlere Bewegung von Wasser in der windgetriebenen Schicht, der durch ein konstantes Windfeld hervorgerufen wird. Solange das Wasser homogen geschichtet ist und keine Küste in der Nähe ist, geschieht dies auf der Nordhalbkugel (Südhalbkugel) in einem rechten Winkel nach rechts (links) zum Wind. Der Ekman-Transport $M_{E}$ kann geschrieben werden (in Komponentenschreibweise) als

$M_{E,x}={\frac {\tau _{y}}{f}}$ in zonaler ($x$-Richtung),

$M_{E,y}=-{\frac {\tau _{x}}{f}}$ in meridionaler ($y$-)Richtung

und ist ein Massentransport (also kein Volumentransport). $f$ ist dabei der Coriolisparameter, $\tau$ der Windstress in $x$- oder $y$-Richtung.

In den Passatzonen bläst ein konstanter, nahezu küstenparalleler Wind in Richtung Äquator. Der Ekman-Transport schiebt das Wasser auf den offenen Ozean, neues Wasser strömt von unten nach. Dies bezeichnet man als Küsten-upwelling.

Über dem realen Ozean ist der Wind nicht überall gleich stark und weht auch nicht überall in dieselbe Richtung. Dadurch wird in manchen Gebieten mehr Wasser durch Ekman-Transport abtransportiert als nachgeschoben wird, Wasser muss von unten nachkommen (siehe upwelling, Divergenz). Diese Aufwärtsbewegung von Wasser wird auch als Ekman-Suction bezeichnet. In anderen Gebieten wird von mehreren Seiten Wasser antransportiert (downwelling, Konvergenz, Ekman-Pumping). Dies geschieht auch unter Hoch- und Tiefdruckgebieten. Unter einem Tief verursacht der zyklonale Windstress upwelling, unter einem Hoch geschieht durch den antizyklonalen Windstress downwelling.

Dazu muss ein Druckgradient auftreten, der in Ekman's Berechnung nicht mit einbezogen war. Nimmt man die Druckgradientenkraft mit hinzu, ergibt sich eine zusätzliche geostrophische Strömung. Dies wurde vorgenommen von Sverdrup, siehe dazu Sverdrup-Transport.

Kat.:Ozeanografie

Uberarbeitung Ekman-Transport

Der Ekman-Transport ist die über eine turbulente Grenzschicht der Atmosphäre und des Ozeans auf der rotierenden Erde vertikal integrierte Strömung. Er ist benannt nach dem schwedischen Ozeanographen Vagn Walfrid Ekman, der die erste realistische Theorie der windgetriebenen Strömung aufgestellt hat (Ekman, 1905). Der Ekman-Transport ist bestimmt durch das Gleichgewicht zwischen der durch die bewegte Wassersäule induzierten Corioliskraft und der Differenz der turbulenten Schubspannung zwischen der oberen und unteren Berandung dieser Wassersäule in der turbulenten Grenzschicht. Die charakteristische Zeit für die Einstellung dieses Gleichgewichts ist die Trägheitsperiode.

Turbulente Grenzschichten

Die Atmosphäre hat eine ausgeprägte turbulente Grenzschicht an ihrer unteren Berandung, die durch die feste Erde und die Oberflächen der Seen, Meere und Ozeane gebildet wird. Die intensive Turbulenz in der atmosphärischen Grenzschicht wird erzeugt durch vertikale Stromscherung, durch Strömung um Elemente der Bodenrauhigkeit sowie durch thermische Konvektion. Der Ozean hat sowohl eine turbulente Grenzschicht unmittelbar unter der Meeresoberfläche, Deckschicht genannt, als auch wie die Atmosphäre eine turbulente Grenzschicht am Meeresboden, die benthische Grenzschicht genannt wird. Die Ursachen der Turbulenz in der benthischen Grenzschicht sind weitgehend der in der atmosphärischen Grenzschicht ähnlich. In ozeanischen Deckschicht spielt für die Erzeugung der Turbulenz neben der vertikalen Scherung der mittleren Strömung, die Injektion von Turbulenz durch brechende Seegang in die obersten Meter der Deckschicht und ihre vertikale Verteilung durch Langmuir-Zirkulation über die gesamte Deckschicht eine wesentliche Rolle. Turbulente Grenzschichten sind über ihre gesamte Dicke gut durchmischt, während außerhalb ihrer Grenzen die stabile Schichtung der Atmosphäre und des Ozeans die Turbulenz weitgehend unterdrückt.

Turbulente Schubspannung

Der turbulente Wind, der über die Erdoberfläche weht, übt auf seine Unterlage, sei es die feste Erde oder die Meeresoberfläche eine turbulente Schubspannung aus. Diese Schubspannung stellt eine merkbar hemmende Kraft für atmosphärische Bewegungen und gleichzeitig eine wichtige antreibende Kraft für ozeanische Bewegungsvorgänge dar. Analog zur Atmosphäre stellt die Schubspannung am Meeresboden eine hemmende Kraft für die Meeresströmungen dar. Der Vektor der horizontalen turbulenten Schubspannung ${\vec {\tau }}$ an der Erdoberfläche stellt die Kraft pro Flächeneinheit dar, die zwischen den der Erdoberfläche unmittelbar benachbarten turbulenten Luftschichten und der festen oder flüssigen Erdoberfläche ausgeübt wird.

Linearisierte Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit auf der rotierenden Erde

Um die horizontalen Schubspannungen in die Bewegungsgleichungen für die mittlere Strömung einzubinden, stellt man sich die Atmosphäre und den Ozean aus dünnen Schichten bestehend vor, die sich gegeneinander wie die Karten eines Stapels Spielkarten bewegen können. Dann ist die resultierende Kraft pro Flächeneinheit auf eine Schicht die Differenz der Schubspannungsvektoren zwischen der Ober- und Unterseite der Schicht. Die durch die Schubspannung bewirkte Kraft pro Masseneinheit ist dann $\rho ^{-1}{\frac {\partial {\vec {\tau }}}{\partial z}}$. Der Grund für die Vernachlässigung horizontaler Ableitungen der Schubspannung ist, daß die vertikalen Skalen der turbulenten Grenzschichten wesentlich kleiner als die Skalen sind, innerhalb derer horizontale Variationen der Schubspannung auftreten. Die linearisierten Bewegungsgleichungen für eine Flüssigkeit auf der mit der konstanten Rotationsgeschwindigkeit ${\vec {\Omega }}$ rotierende Erde sind dann unter Berücksichtigung der horizontalen Schubspannung

${\frac {\partial u}{\partial t}}-fv=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{x}}{\partial z}}$,

${\frac {\partial v}{\partial t}}+fu=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{y}}{\partial z}}$.

In den obigen Gleichungen sind:

• t: die Zeit
• x, y, z: die Koordinaten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit dem Nullpunkt im Meeresspiegel auf der geographischen Breite $\phi$, z.B. positiv nach Osten, positiv nach Norden und positiv entgegen der Schwerkraft gerichtet.
• u, v: die horizontalen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors in Richtung der x- und y-Achse.
• p: die Druckstörung , d.h. die Abweichung vom hydrostatischen Druck.
• $\rho$: die Dichte der Flüssigkeit; in diesem Fall Luft oder Wasser.
• $f=2{\vec {\Omega }}\sin \varphi$
• $\tau _{x},\tau _{y}$: die Komponenten der turbulenten Schubspannung in Richtung der x- und y- Achse.

Turbulenzmodelle der turbulenten Grenzschichten der Atmosphäre und des Ozeans liegen gegenwärtig noch nicht in einer Form vor, die es gestatten würde den vertikalen Verlauf der turbulenten Schubspannung innerhalb der Grenzschichten als Funktion der gemittelten Zustandsgrößen Geschwindigkeit und Dichte, sowie der Impuls- und Auftriebsflüsse an den Rändern der Grenzschichten exakt auszudrücken.

Integrale Eigenschaften turbulenter Grenzschichten

Es zeigt sich jedoch, daß ziemlich einfache Modelle benutzt werden können, um einige integrale Eigenschaften der Grenzschichten zu untersuchen und ihre Auswirkungen auf die Strömung außerhalb der Grenzschichten zu bestimmen. Dabei geht man davon aus, daß sich die horizontale Strömung in einen durch den Druckgradienten angetriebenen Teil ${\vec {u}}_{p}$, der in der gesamten Flüssigkeit existiert, und in einen durch die Schubspannung angetriebenen Anteil ${\vec {u}}_{E}$, die nur in der Grenzschicht existierende Ekman-Strömung, zerlegen läßt, nämlich

${\vec {u}}={\vec {u}}_{p}+{\vec {u}}_{E}$.

Die Ekman Strömung genügt den Gleichungen

${\frac {\partial u_{E}}{\partial t}}-fv_{E}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{x}}{\partial z}}$,

${\frac {\partial v_{E}}{\partial t}}+fu_{E}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{y}}{\partial z}}$,

und ergibt von der Unter- $z_{u}$ bis zur Obergrenze $z_{o}$ integiert,

${\frac {\partial U_{E}}{\partial t}}-fV_{E}={\frac {1}{\rho }}\left(\tau _{x}(z_{o})-\tau _{x}(z_{u})\right)$,

${\frac {\partial V_{E}}{\partial t}}+fU_{E}={\frac {1}{\rho }}\left(\tau _{y}(z_{o})-\tau _{y}(z_{u})\right)$.

Dabei ist ${\vec {U}}_{E}=\int _{z_{u}}^{z_{o}}{\vec {u}}_{E}dz=\int _{z_{u}}^{z_{o}}\left({\vec {u}}-{\vec {u}}_{p}\right)dz$ der Vektor des Ekman-Transports.

Bodennahe Grenzschichten

Für die atmosphärische Grenzschicht und die benthische Grenzschicht des Ozeans kann man annehmen, daß die turbulente Schubspannung oberhalb von $z_{o}$ verschwindet, weil die Turbulenz außerhalb der Grenzschichten auf Grund der stabilen Dichteschichtung sehr klein ist. Es ergibt sich somit für den Ekman-Transport innerhalb dieser Grenzschichten

${\frac {\partial U_{E}}{\partial t}}-fV_{E}=-{\frac {1}{\rho }}\tau _{x}(z_{u})$,

${\frac {\partial V_{E}}{\partial t}}+fU_{E}=-{\frac {1}{\rho }}\tau _{y}(z_{u})$.

Ozeanische Deckschicht

Für die ozeanische Deckschicht kann man annehmen, daß die turbulente Schubspannung unterhalb dieser Deckschicht ab $z_{u}$, ebenfalls wegen der starken Dichteschichtung, vernachlässigt werden kann. Für den Ekman-Transport der Deckschicht folgt somit

${\frac {\partial U_{E}}{\partial t}}-fV_{E}={\frac {1}{\rho }}\tau _{x}(z_{o})$,

${\frac {\partial V_{E}}{\partial t}}+fU_{E}={\frac {1}{\rho }}\tau _{y}(z_{o})$,

wobei der untere Rand der atmosphärischen Grenzschicht über dem Meer bei $z_{u}$ identisch mit dem oberen Rand der ozeanischen Deckschicht bei $z_{o}$, nämlich der Meeresoberfläche ist.

Transiente Prozesse in der turbulenten Grenzschicht

Das Verhalten des Ekman-Transports in der turbulenten Grenzschicht beim Übergang aus einem Zustand der Ruhe in einen Gleichgewichtszustand zwischen der Corioliskraft und der Schubspannung am Rand der Grenzschicht kann man gut für die ozeanische Deckschicht untersuchen. Dabei wird angenommen, daß die Windschubspannung an der Meeresoberfläche zum Zeitpunkt t=0 plötzlich einsetzt und danach konstant bleibt, d.h. ${\vec {\tau }}\left(t\right)=\Theta \left(t\right){\vec {\tau }}(z=0)$. Hier ist $\Theta (t)$ die Heaviside-Funktion. Die Konstanz der Windschubspannung kann man voraussetzen, wenn ihre horizontale Variation auf Skalen erfolgt, die wesentlich größer als der Rossbyradius im Ozean ist. Dies ist im offenen Ozean häufig der Fall. Eine Lösung dieses Problems erhält man relativ einfach, wenn man die obige Gleichung für die meridionale Komponente des Ekman-Transports mit i, der imaginären Einheit, multipliziert und beide Gleichungen addiert. Man erhält dann

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(U_{E}+iV_{E}\right)+if\left(U_{E}+iV_{E}\right)={\frac {\Theta \left(t\right)}{\rho }}\left(\tau _{x}(z_{o})+i\tau _{y}(z_{o})\right)$.

Diese Gleichung hat die Lösung

$U_{E}+iV_{E}=-{\frac {i\Theta \left(t\right)}{\rho f}}\left(1-e^{-ift}\right)\left(\tau _{x}(z_{o})+i\tau _{y}(z_{o})\right)$.

Nach dem Einschalten der Windschubspannung erfolgt der Ekman-Transport in Richtung der Windschubspannung und wächst linear mit der Zeit an. Im Verlauf der Zeit beginnt der Ekman-Transport unter der Einwirkung der Corioliskraft auf der Nord-(Süd-)halbkugel im (entgegen dem) Uhrzeigersinn von der Richtung der Windschubspannung weg zu drehen. Nach einer Trägheitsperiode $T_{i}={\frac {2\pi }{f}}$ erfolgt der Ekman-Transport im rechten Winkel im Uhrzeigersinn zur Windschubspannung mit dem konstanten Betrag ${\frac {\tau (z_{o})}{\rho f}}$. Diesem konstanten Anteil des Ekman-Transports, der sich aus dem Gleichgewicht von Windschubspannung an der Meeresoberfläche und der Corioliskraft ergibt, überlagern sich Trägheitsschwingungen mit der Periode $T_{i}$, die sich aus dem Gleichgewicht zwischen der Trägheit der Wasserteilchen und ihrer Coriolisbeschleunigung ergeben. Die Übergangszeit aus einem dynamischen Gleichgewichtszustand der turbulenten Deckschicht in einen anderen beträgt $T_{i}$. Die erhaltenen Ergebnisse hängen nur von der Existenz einer turbulenten Schubspannung am oberen Rand der turbulenten Grenzschicht bzw. von ihrem Verschwinden am unteren Rand und nicht von den Eigenschaften der Turbulenz im Inneren der Grenzschicht ab.

Die Eigenschaften der transienten Vorgänge nach dem Einschalten einer Schubspannung in der bodennahen Grenzschicht der Atmosphäre und in der benthischen Grenzschicht im Ozean sind die gleichen wie die in der Deckschicht des Meeres. Dagegen ist der Gleichgewichtszustand zwischen Corioliskraft und Schubspannung am unteren Rand der beiden bodennahen Grenzschichten von dem in der Deckschicht des Meeres verschieden. Für jene gilt

$U_{E}+iV_{E}={\frac {i\left(\tau _{x}(z_{u})+i\tau _{y}(z_{u})\right)}{\rho f}}$.

In diesen bodennahen Grenzschichten ist der Ekman-Transport auf der Nord- (Süd-)halbkugel um 90° entgegen dem (im) Uhrzeigersinn gegenüber der Schubspannung am Boden der Grenzschicht gedreht, und erfolgt somit entgegengesetzt zu dem in der Deckschicht des Meeres. Interessant ist, daß der Ekman Massentransport in der atmosphärischen Grenzschicht über dem Meer und der in der Deckschicht des Meeres gleich groß mit entgegengesetzter Richtung sind, so daß der über beide Schichten integrierte Massentransport gleich Null ist.

Nachweis und Bedeutung des Ekman-Transports

Die mit dem Ekman-Transport vebundenen Geschwindigkeiten sind relativ klein gegnüber denen der durch Druckgradienten angetriebenen Strömungen. Darüber hinaus sind insbesondere die an der Meeresoberfläche durch den Seegang induzierten hochfrequenten Strömungsschwankungen wesentlich stärker als die Ekman Strömung. Dieses schlechte Signal/Rausch Verhältnis stellte eine besondere Herausforderung an den experimentellen Nachweis des Ekman Tansports im Ozean dar, die erst durch die in den 1990er Jahren verfügbare Strömungsmeßtechnik gelöst werden konnte. Durch sorgfältige gleichzeitige Strömungs- und Windmessungen im offenen Ozean konnte nachgewiesen werden, daß der beobachtet oberflächennahe Volumentransport konsistent mit dem Ekman-Transport ist, Weller and Plueddemann (1996), Schudlich and Price (1998).

Ist der Ekman-Transport in einer turbulenten Grenzschicht räumlich konstant, so bleiben seine Auswirkungen auf diese Schicht begrenzt. Er trägt wesentlich zur horizontalen Vermischung von gelösten und partikulärem Material in dieser Schicht bei.

Von großer Bedeutung für die gesamte Dynamik des Ozeans und der Atmosphäre wird der Ekman-Transports dann, wenn seine Divergenz in der turbulenten Grenzschicht von Null verschieden ist. Die damit verbundenen vertikalen Geschwindigkeiten erzeugen Druckstörungen außerhalb der Grenzschichten, durch die nach der geostrophischen Anpassung geostrophische Strömungen in der ganzen Luft- oder Wassersäule entstehen. Durch Integration der Koninuitätsgleichung über die Schichtdicke der turbulenten Grenzschicht erhält man den Zusammenhang zwischen der Divergenz des Ekman-Transports und der Vertikalgeschwindigkeit an den Rändern der turbulenten Grenzschichten.

${\frac {\partial }{\partial x}}\int _{z_{u}}^{z_{o}}u_{E}dz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{z_{u}}^{z_{o}}v_{E}dz+w\left(z_{o}\right)-w\left(z_{u}\right)=0$.

Auftrieb im offenen Ozean

Über dem realen Ozean ist der Wind nicht überall gleich stark und weht auch nicht überall in dieselbe Richtung. Dadurch wird in manchen Gebieten mehr Wasser durch Ekman-Transport abtransportiert als nachgeschoben wird. Der Ekman-Transport in der Deckschicht weist in diesem Fall eine Divergenz auf. Aus Gründen der Massenerhaltung muss Wasser von unten aufquellen. Dieser Prozeß wird Auftrieb genannt (englisch upwelling). Diese Aufwärtsbewegung von Wasser wird auch als Ekman-Suction bezeichnet. In anderen Gebieten wird durch den kovergenten Ekman-Transport in der Deckschicht von mehreren Seiten Wasser heran transportiert. Man spricht dann von Downwelling oder Ekman-Pumping. Dies geschieht durch die mit den Hoch- und Tiefdruckgebieten verbundenen Windfelder an der Meeresoberfläche. Unter einem Tief verursacht die zyklonale Windschubspannung Auftrieb (upwelling), unter einem Hoch verursacht die antizyklonale Windschubspannung Downwelling.

Die Bildung der Divergenz des Ekman-Transports als Funktion der Windschubspannung ergibt nach dem Abklingen der Trägheitsschwingungen

$w\left(z_{u}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\tau _{y}(z_{o})}{\rho f}}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\tau _{x}(z_{o})}{\rho f}}$,

am Boden der turbulenten Deckschicht eine Vertikalgeschwindigkeit, die proportional der Rotation der durch den Coriolisparameter dividierten horizontalen Windschubspannung an der Meeresoberfläche ist. Dieser Prozeß ist von fundamentaler Bedeutung für die Anregung der winderzeugten Ozeanströmungen. Die Rotation der Windschubspannung bildet sich über dem Ozean zwischen den verschiedenen Zweigen der Planetarischen Zirkulation, z. B. zwischen den Westwindgürteln und den Passatzonen heraus. Zwischen letzteren akkumuliert der Ekman-Transport einen anwachsenden Wasserberg und drückt die Sprungschicht tief in den Ozean hinein. Nach der geostrophischen Anpassung bildet dieser Prozess in dem jeweiligen Ozean den Kern für den subtropischen Wirbel (englisch gyre). Das Anwachsen des Wasserbergs wird durch das Eintreffen der Front langer ozeanischer Rossbywellen vom Ostrand des Ozeans abgeschaltet, siehe z.B. Gill (1982). Hinter der Front wird ein stationärer Zustand eingerichtet, bei dem die Divergenz des Ekman-Transports durch die planetare Divergenz der meridionalen Strömung kompensiert wird. Dieser stationäre Zustand wird als Sverdrup Regime bezeichnet. Da die nach Westen propagierenden Rossbywellen das Anwachsen des Wasserbergs im östlichen Teil des Ozeans eher stoppen als im westlichen Teil, steigt die Höhe des Wasserbergs im subtropischen Wirbel (Gyre) langsam vom Ost- zum Westufer des Ozeans in der Größenordnung von 1 m an.

Ekman-Transport in der Deckschicht eines berandeten Meeres

Für die turbulente Deckschicht des Meeres gilt die Randbedingung $w\left(z_{o}\right)\approx 0$. Damit ergibt sich für die vertikale Geschwindigkeit am unteren Rand der Deckschicht des Meeres

$w\left(z_{u}\right)={\frac {\partial U_{E}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{E}}{\partial y}}$.

Wir nehmen an, daß der Wind an der Oberfläche eines Meers mit der Breite W parallel zu seinen Küsten in die positive x-Richtung weht. Für den Ekman-Transport in der Deckschicht des Meeres gilt $V_{E}=-\Theta \left(W/2-|y|\right){\frac {\tau _{o}^{x}}{f\rho }}$. Der Ekman-Transport ist somit nur an den Ufern divergent und man erhält für die Vertikalgeschwindigkeit am unteren Rand der Deckschicht näherungsweise

$w\left(z_{u}\right)={\frac {\tau _{u}^{x}}{f\rho }}\left(\delta \left(y-W/2\right)-\delta \left(y+W/2\right)\right)$,

nämlich Auftrieb am linken Ufer und Downwelling am rechten Ufer, wenn man in Windrichtung blickt. In Realität bildet sich eine Küstengrenzschicht von der Breite eines Rossby-Radius am jeweiligen Ufer aus, über die sich die Vertikalgeschwindigkeiten verteilen. Darüber hinaus wird durch die Abstrahlung barotroper Poincare Wellen hinter deren Front ein Kompensationsstrom zum Ekman-Transport unterhalb der Deckschicht eingerichtet.

Der am linken Kanalufer in das Innere des Meeres gerichtete Ekman-Transport führt dort zu einer mit der Zeit anwachsenden Absenkung des Meerespiegels innerhalb der Küstengrenzschicht und der Auftrieb zu einer Aufwölbung der Sprungschicht. Nach der geostrophischen Anpassung an die dadurch verursachten Druckstörungen richtet sich in der Deckschicht innerhalb der Küstengrenzschicht eine horizontal gebündelte, beschleunigende geostrophische Strömung in Windrichtung ein, die Küstenstrahlstrom oder englisch Coastal Jet genannt wird. Am gegenüberliegenden Ufer führt der Downwelling Prozeß zusammen mit der geostrophischen Anpassung zu einem in gleicher Richtung strömenden Küstenstrahlstrom.

Die Küstenstrahlströme bilden zusammen mit dem Ekman-Transport in der Deckschicht und dem unterhalb der Deckschicht befindlichen Kompensationsstrom in einem berandeten Meer auf der Nordhalbkugel eine Zirkulation in der Form einer rechtsdrehenden Schraube, deren Spitze in die Richtung des Windvektors zeigt.

Ekman-Transport am Äquator und äquatorialer Auftrieb

Analoge dynamische Prozesse wie in einem begrenzten Meer erzeugt eine räumlich konstante zonale Windschubspannung über dem Äquator. Der Vorzeichenwechsel des Coriolisparameter f am Äquator hat zur Folge, daß in dynamischer Hinsicht der Äquator eine virtuelle Küste darstellt. Nach Osten gerichtete Windschubspannung erzeugt in der äquatorialen Deckschicht durch den Vorzeichenwechsel des Coriolisparameters f einen aus beiden Hemisphären zum Äquator gerichteten Ekman-Transport, der dort Downwelling mit einen nach Osten gerichteten äquatorialen Strahlstrom zur Folge hat. Nach Westen gerichtete Windschubspannung hat einen zu den Polen gerichteten Ekman-Transport zur Folge, der äquatorialen Auftrieb und einen westwärts gerichteten Strahlstrom erzeugt. Die meridionale Breite der jeweiligen Auftriebszonen und Strahlströme ist durch den äquatorialen Rossby Radius bestimmt.

Bodengrenzschichten

Strömt eine durch Druckgradienten angetriebene Strömung über eine feste Unterlage mit einer gewissen Rauhigkeit, so bildet sich in der unmittelbaren Nähe der festen Wand eine turbulente Grenzschicht aus. Für die turbulente Bodenschicht der Atmosphäre und des Meeres gilt die Randbedingung $w\left(z_{u}\right)=0$. Damit ergibt sich für die vertikale Geschwindigkeit am oberen Rand der atmosphärischen oder benthischen Grenzschicht nach der Bildung des Ekman-Transports

$w\left(z_{o}\right)=-{\frac {\partial U_{E}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{E}}{\partial y}}$.

Betrachten wir einen unendlich langen Kanal mit seiner Hauptachse parallel zur x-Richtung und nehmen an, daß die Hauptströmung und damit die Schubspannung am Boden in positiver x-Richtung gerichtet ist, so ist der Ekman-Transport in der benthischen Bodenschicht in Richtung der Gradientströmung blickend, um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn gerichtet. Der sich quer zur Kanalachse einstellende Ekman-Transport muß an den Ufern bei $y=\pm W/2$ verschwinden. Es gilt für den Ekman-Transport im Kanal $V_{E}=\Theta \left(W/2-|y|\right){\frac {\tau _{u}^{x}}{f\rho }}$. Der Ekman-Transport in der Bodenreibungsschicht ist somit nur an den Ufern divergent und man erhält für die Vertikalgeschwindigkeit am oberen Rand der Bodenreibungsschicht näherungsweise

$w\left(z_{o}\right)={\frac {\tau _{u}^{x}}{f\rho }}\left(\delta \left(y-W/2\right)-\delta \left(y+W/2\right)\right)$.

Hier ist $\delta (x)$ die Ableitung von $\Theta (x)$. In Richtung der Schubspannung am Boden schauend, ist auf der Nordhalbkugel, analog wie beim windgetriebenen Auftrieb im begrenzten Meer, die Vertikalgeschwindigkeit des oberen Randes der Bodenreibungsschicht am linken Ufer aufwärts gerichtet, dort herrscht Auftrieb, und am rechten Ufer abwärts gerichtet, dort herrscht Downwelling. In der Natur erfolgt der Übergang vom voll entwickelten Ekman-Transport im Inneren des Kanals zu seinem Verschwinden am Ufer innerhalb einer Küstengrenzschicht von der Breite eines Rossby Radius durch das Abstrahlen von barotropen Poincare Wellen vom Ufer in das Innere des Kanals. Hinter der Front der Poincare Wellen stellt sich eine Kompensationströmung senkrecht zur Kanalachse ein, die den Ekman-Transport der Bodenreibungsschicht in der Form kompensiert, daß der Massentransport quer zur Kanalachse verschwindet. Es stellt sich eine Sekundärzirkulation ein, die durch den Ekman-Transport in der Bodenreibungsschicht und den entgegengesezt gerichteten Kompensationsstrom in den darüber liegenden Schichten charakterisiert ist. Die Zirkulation hat auf der Nordhalbkugel, wie im windgetriebenen Fall, die Form einer rechtsdrehenden Schraube, deren Spitze in Richtung der Gradientströmung zeigt. Auftrieb und Downwelling erfolgen innerhalb der Küstengrenzschichten. Sie führen zu einem Aufwölben der Dichteschichten oberhalb der Bodengrenzschicht am linken Ufer und zu einem Absenken am rechten Ufer. Nach der geostrophischen Anpassung stellen sich in den beiden Küstengrenzschichten barokline Strömungen ein, die sich der barotropen Kanalströmung überlagern und dort zu vertikalen Stromscherungen führen.

Literatur

Ekman, V.W., 1905. On the influence of the earth's rotation on ocean currents. Arch. Math. Astron. Phys. 2, No. 11

Gill, A. E. (1982). Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press Inc. New York, London, Tokyo, ISBN 0-12-283520-4

Fennel, W. and H.-U. Lass, 1989. Analytical Theory of Forced Ocean Waves. Akademie-Verlag-Berlin, ISBN 3-05-500421-3

Weller, R. A., Plueddemann, A. J., 1996. Observations of the vertical structure of the oceanic boundary layer. J. Geophys. Res., 101, C4, 8789-8806 (The wind-driven transport is in good agreement with the Ekman transport.)

Schudlich, R. R., Price, J. F., 1998. Observations of Seasonal Variation in the Ekman Layer. J. Phys. Oceanogr., 28, 6, 1187-1204 (the authors find the observed near-surface volume transport to be consistent with Ekman transport.)