Geosynchrone Umlaufbahn

Die Umlaufbahn eines Satelliten heißt geosynchron, wenn seine Umlaufzeit um die Erde exakt der Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse (23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = 1 siderischer Tag) entspricht.

Geosynchrone Umlaufbahnen können stark elliptisch sein und müssen nicht parallel zum Äquator verlaufen.

Der Spezialfall einer geosychronen Umlaufbahn, die keine Exzentrizität hat, also kreisförmig ist, und genau parallel über dem Äquator verläuft, heißt geostationär. Ihre Höhe über dem Äquator beträgt 35.786 Kilometer, die Bahngeschwindigkeit 3.074,689 Meter pro Sekunde.

Von der Erde aus betrachtet scheint ein geostationärer Satellit am Himmel still zu stehen, da sich der Beobachter auf der Erde mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegt wie der Satellit. Deswegen wird diese Umlaufbahn häufig für Fernseh- und Kommunikationssatelliten verwendet, da die Antennen auf dem Boden fest auf einen bestimmten Punkt ausgerichtet werden können.

Formeln

Um einen Körper der Masse m mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit dem Radius r zu halten, ist eine Zentripetalkraft (zum Mittelpunkt gerichtete Kraft) der Stärke

$F=m\omega ^{2}r$

erforderlich. Auf der geostationären Kreisbahn ist das die Erdanziehungskraft, die im Abstand r die Stärke

$F={\frac {GMm}{r^{2}}}$

hat (G ist die Gravitationskonstante).

Die Umlaufbahn ist nur dann stabil, wenn die beiden Kräfte gleich sind, es muss also gelten

$m\omega ^{2}r=F={\frac {GMm}{r^{2}}}$

Auflösen nach r ergibt

$r={\sqrt[{3}]{G{\frac {M}{\omega ^{2}}}}}$

Die Kreisfrequenz ω ergibt sich aus der Umdrehungsdauer t als

$\omega ={\frac {2\pi }{t}}$

Einsetzen in die Formel für r ergibt

$r={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}$

Berechnung

Aus

${\begin{matrix}G=6{,}674\cdot 10^{-11}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \\\pi =3{,}141\end{matrix}}$

ergibt sich

${\frac {G}{4\pi ^{2}}}=1{,}691\cdot 10^{-12}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$

Die Formel lautet also

$r={\sqrt[{3}]{1{,}691\cdot 10^{-12}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad Mt^{2}}}$

oder

$r=1{,}191\cdot 10^{-4}\ {\sqrt[{3}]{1\ \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad Mt^{2}}}$

Für die Erde mit der Erdmasse M = 5,9736 · 10²⁴ kg und der Rotationsdauer 23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = (23 * 60 + 56) * 60 + 4,09 Sekunden = 86164,09 Sekunden gilt:

$r=1{,}191\cdot 10^{-4}\ {\sqrt[{3}]{1\ \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad 5{,}9736\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} \ (86164,09\ \mathrm {s} )^{2}}}$

$=42175000\ \mathrm {m}$

$=42157\ \mathrm {km}$

Siehe auch

• Orbit (Himmelsmechanik)