Hyperkomplexe Zahl

Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

Definition

Hyperkomplexe Zahlen bilden algebraische Strukturen über den reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Man fordert die folgenden Eigenschaften:

Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
Die Addition ist invertierbar.
Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.

Die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen ist bilinear über den reellen Zahlen, also gilt (ax)(by) = ab (xy) für alle a,b $\in \mathbb {R}$ und x,y hyperkomplexe Zahlen.

Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:

Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen braucht weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz zu gelten.
Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.
Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht invertierbar.

Konjugation

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:

$a=a_{0}1+a_{1}\mathbf {i} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {i} _{n}$ .

Die Größen $\mathbf {i} _{k}$ heißen imaginäre Einheiten. Die zu $a$ konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr negatives ersetzt werden ( $\mathbf {i} _{k}\mapsto -\mathbf {i} _{k}$ ). Die zu $a$ konjugiert komplexe Zahl wird durch ${\bar {a}}$ oder $a^{*}$ dargestellt. Ihre Summendarstellung ist

${\bar {a}}=a_{0}1-a_{1}\mathbf {i} _{1}-\cdots -a_{n}\mathbf {i} _{n}$ .

Die Konjugation ist ein Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass

${\bar {\bar {a}}}=a$ .

Beispiele

Die Komplexen Zahlen

Die Komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das durch

$z=a+b\mathrm {i}$ mit $\mathrm {i} ^{2}=-1$

definiert ist.

Die binären Zahlen

Die binären Zahlen sind definiert durch

z = a + bE mit $E^{2}=1$ .

Die dualen Zahlen

Die dualen Zahlen sind definiert durch

$z=a+b\Omega$ mit $\Omega ^{2}=0$ .

Beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen zu tun haben.

Die Quaternionen

Die Quaternionen sind vierdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation.

Die Oktonionen

die Oktonionen sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternierender Multiplikation.

Bemerkungen

Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, die doppelt so viele Dimensionen wie das Ausgangszahlensystem haben.

Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

Literatur

I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1978.