Umkehrregel

Die Umkehrregel ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Umkehrabbildung einer umkehrbaren (d.h. bijektiven) Funktion $f$ , die an der Stelle $x$ differenzierbar ist und keine waagerechte Tangente (d.h. $f'(x)\neq 0$ ) besitzt, an der Stelle $y=f(x)$ differenzierbar ist, und dass gilt:

(f^{-1})'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y)}}

Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten x und y. Die Graphen der Funktion f und ihrer Umkehrfunktion $f^{-1}$ sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung y = x. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

f'(x)=\tan \alpha =\tan(90^{\circ }-\beta )={\frac {1}{\tan \beta }}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}.

Beweis

Die Umkehrregel kann direkt gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

wie folgt umformt:

{\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x+h))-f^{-1}(f(x))}{f(x+h)-f(x)}}},

Anschließend substituiert man mit $t=f(x+h)-f(x)$ .

Da $f$ Bijektivität ist (schließelich existiert die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ) von $f$ ist gewährleistet, dass für alle $h\neq 0$ stets $f(x+h)\neq f(x)$ gilt und der obige Differenzenquotient für alle $h\neq 0$ existiert.

Beim Grenzübergang für $h\to 0$ geht auch $t\to 0$ , denn $f$ an der Stelle $x$ , differenzierbar, damit auch stetig. Damit folgt:

Alternativ kann die Umkehrregel aus der Gleichung $f^{-1}(f(x))=x$ für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von f mittels der Kettenregel durch Ableiten hergeleitet werden:

f^{-1}(f(x))=x\Rightarrow (f^{-1}(f(x))'=(f^{-1})'(f(x))\cdot f'(x)=1,

Umstellen im Falle $(f^{-1})'(f(x))\neq 0$ liefert die Behauptung. Man beachte jedoch, dass diese Art der Herleitung zwar die richtige Gleichung liefert, nicht aber die Existenzfrage der Ableitung der Umkehrfunktion beantwortet, da die Kettenregel bereits die Differenzierbarkeit der beteiligten Funktionen voraussetzt. Diese "Herleitung" ist also eher als eine praktische Merkhilfe zu verstehen.