Losgröße

Die Losgröße (optimale Bestellmenge) ist die Menge an Gütern, die entweder in einem Produktionsprozess unter definierten Bedingungen hergestellt wird (bei Stoffen Charge) oder in einer gemeinsamen Bestellung eingekauft wird.

Kaufmännische Losgröße

Bei einem Einkauf oder in einem Produktionsprozess treten losfixe Kosten auf. Das sind Kosten die je Produktionsprozess oder je Bestellung anfallen, aber unabhängig von der Losgröße sind. Beispiele für losfixe Kosten z.B. die Versandkosten bei der Bestellung eines Warenkorbs im Versandhandel oder das Umrüsten einer Maschine. Um die losfixen Kosten möglichst niedrig zu halten, sollten möglichst große Lose gekauft oder produziert werde.

Andererseits treten neben den losfixen Kosten auch variable Loskosten oder Lagerhaltungskosten auf. Dies sind Kosten die nicht nur von der Anzahl der bestellten Lose, sondern auch von der Größe der Lose und damit auch der Lagerzeit abhängig sind. Um diese Kosten möglichst gering zu halten, sollten möglichst kleine Lose gekauft oder produziert werden. Die üblichen variablen Lagerhaltungskosten sind:

• Schwund und Verderb
• Die Versicherungskosten für die gelagerten Güter
• Außerdem sind auf Lager liegende Güter gebundenes, wahrscheinlich schlecht angelegtes Kapital.

Um die Gesamtkosten möglichst gering zu halten, müssen sowohl die losfixen als auch die variablen Lagerhaltungskosten beachtet werden. Um die optimale Losgröße zu bestimmen, wurden verschiede Losgrößenmodelle entwickelt.

Das klassische Losgrößenmodell nach Harris und Andler

Grundlegende Annahmen und Definitionen

1. Es wird genau ein Produkt in genau einem Lager betrachtet
2. Es sind keine Fehlmengen zugelassen.
3. Wir betreiben ein unendlich großes Lager mit unendlich großer Lagerkapazität. (wie das Spielzeuglager vom Weihnachtsmann)
4. Wir haben einen kontinuierlichen und gleichmäßigen Lagerabgang mit der Rate a.
5. Der Lagerzugang geschieht in bestellten Losen der Größe q durch Produktion mit der Rate x
6. Die Lagerauffüllung verursacht losfixe Kosten c_r
7. Der Lagerhaltungskostensatz c_L ist konstant

• Es werden keine Qualitäts- oder Zeitziele beachtet.

Prinzip

(Anmerkung: Zur besseren Lesbarkeit des Artikels wird im folgenden der analoge Bestellfall nicht mehr explizit genannt, sondern es wird nur noch vom Produktionsfall gesprochen.)

Bekanntlich errechnet sich die Losgröße nach:

$q=T\cdot d$

wobei:

• q die Losgröße
• T die Reichweite oder das Bestellintervall ist12345
• und d die Abgangsrate ist.

Das betriebswirtschaftliche Ziel ist es (bei bekannten d) q und T so zu wählen, dass die Summe aus bestellfixen Kosten und den variablen Lagerhaltungskosten minimal wird. Dazu gliedert man die Reichweite T auf in:

1. den Produktionszyklus T₁ Hier wird mit einer Rate x produziert. Die Auffüllrate des Lagers r ist r = x-d
2. den Lagerabgangzyklus T₂ mit der Abgangsrate d. Es gilt T₂ = T - T₁

Die Kostenfunktion ist eine Summe aus den losfixen Kosten und den variablen Lagerhaltungskosten.

$K=C_{R}+C_{L}\cdot T\cdot {L \over 2}$

wobei L/2 die durchschnittlichen Lagerbestand darstellt.

$mit:\quad L=q\cdot \left(1-{d \over x}\right)$
$gilt:\quad K=C_{R}+C_{L}\cdot T\cdot {q \over 2}\cdot \left(1-{d \over x}\right)$

um die Kosten pro Zeit (k) zu erhalten, wird durch T geteilt und T = q/d eingesetzt.

$k={C_{R}\cdot d \over q}+C_{L}\cdot {q \over 2}\cdot \left(1-{d \over x}\right)$

nun ist das Minimum dieser Funktion zu bestimmen.

${dk \over dq}=-{C_{R}\cdot d \over q^{2}}+{C_{L} \over 2}\cdot \left(1-{d \over x}\right)=0$

durch einfache Umformung erhält man die optimale Losgröße q_o

$q_{o}={\sqrt[{2}]{2\cdot C_{R}\cdot d \over C_{L}\cdot \left(1-{d \over x}\right)}}$

Durch einsetzen von q_o in die zweite Ableitung wird überprüft ob ein lokaler Tiefpunkt vorliegt. Mit Hilfe von q_o = T_o * d lässt sich das optimale Bestellintervall berechnen.

Grenzen des klassischen Losgrößenmodelles

Das klassische Losgrenzenmodell ist in seiner Anwendung durch die strengen und sehr praxisfernen Annahmen die getroffen wurden stark begrenzt. Daher wurden verschiedene weitergehende Modelle entwickelt.

Das Losgrößen Modell von Wagner und Whitin

Der Planungszeitraum wird in diskrete Perioden unterteile. Dabei ist die Höhe der Bedarfsnachfrage aus jeder Periode bekannt.

Bei periodenweiser Produktion fallen (bekannte) Rüstkosten an und die Nachfrage wird aus der laufenden Produktion oder aus dem Lagerbestand (keine Fehlmengen)abgeleitet

Das Arrow/Harris/Marschak Modell

EOQ (Economic Order Quantity)-Modell