Diskussion:Natürliche Zahl

Singular/Plural

Wie steht es eigentlich mit der Singular/Plural-Vereinbarung für Eintragsbegriffe? Bei der internationalen Wikipedia wird darauf geachtet, dass die Einträge im Singular steheh. -- Tiago

"Natürliche Zahlen" ist eine Menge. Es geht um viele Zahlen (um die Menge), nicht um genau eine Zahl. Deswegen halte ich den Plural für angebracht, denn er unterscheidet mögliche Begriffe. -- Fgb

Sehe ich ähnlich wie Fgb. Meiner Meinung nach, sollte man wenn möglich immer den Singular verwenden, aber gerade 'Natürliche Zahlen' hätte ich vermutlich auch als Plural eingetragen - weil hier die Gesamtheit beschrieben wird. -- avatar

Sehe ich nicht so! Die 2 ist eine natürliche Zahl. Es gibt also den Singular Begriff. Sonst müsste man auch Tisch, Stuhl, Haus unter ihrer Pluralform stehen haben, weil es ja sehr viele davon gibt. Stern 13:44, 23. Apr 2004 (CEST)

LDC, take a look at this page when you get a chance--note the sl: interwiki link. Koyaanis Qatsi 13:51, 30. Aug 2002 (PDT)

0 als natürliche Zahl

Wieso ist es sinnvoll, dass die 0 in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist? Von der Bezeichnung her ist es sinnvoll, dass sie nicht die 0 enthält, da man so mit N und N₀ die Mengen ohne und mit der 0 einfach bezeichnen kann. Nankea 01:43, 14. Apr 2004 (CEST)

Sinnvoll sind beide Konventionen. Was für einen bestimmten Zweck besser geeignet ist, hängt von eben diesem Zweck ab.

Wer beide Mengen braucht, wird wohl die Schreibweisen N und N₀ verwenden. Wer dagegen in seiner Arbeit die natürlichen Zahlen mit Null ständig braucht, wird wohl dafür die Bezeichnung N verwenden, und an den paar Stellen, wo die Null ausgeschlossen werden soll, eine der anderen angegebenen Schreibweisen benutzen.

Analoge Unterscheidungen gibt es viele: Ich arbeite ständig mit der Menge der Primzahlen, die standardmäßig mit P ($\mathbb {P}$) geschrieben wird. Jedoch brauche ich auch oft die Menge der Primzahlen ohne die 2, die ich also als P\{2} schreibe. Mir käme nie in den Sinn, letztere Menge als P zu bezeichnen und alle Primzahlen mit P₂. --SirJective 13:30, 14. Apr 2004 (CEST)

Gut, also sind beide Konventionen, je nach zweck, gleich sinnvoll. Trotzdem halte ich die Aussage "Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll..." für falsch. Das Gegenteil ist ebenso sinnvoll:

Null ist die Anzahl der Elemente der leeren Menge, aber sie ist nicht Element der natürlichen Zahlen. Die Leere Menge jedoch IST eine Teilmenge. Sie enthält nicht die Null, sondern GAR NICHTS. Somit werden beide Varianten bedient: für N_ohne_0 steht die Menge der natürlichen Zahlen, und für N_mit_0 stehen die Elementanzahlen der Teilmengen.

Ich erwarte von einer Enzyklopädie, daß die Allgemeinverständlichkeit der Artikel maximiert wird. Wenn es mehr als eine Konvention gibt (die signifikant ist), dann sollten alle gleichermaßen aufgelistet werden, eventuell mit Beschreibung ihres jeweiligen Verwendungsbereiches, aber der Artikeltext selbst sollte möglichst wenig von einer vorherrschenden Konvention gefärbt sein. --Modran 21:13, 24. Sep 2004 (CEST)

Die genannte Aussage ist nicht falsch - die 0 als natürliche Zahl zu betrachten ist tatsächlich sinnvoll. Und ebenso sinnvoll ist es, sie nicht als natürliche Zahl zu betrachten. Nur weil das Gegenteil sinnvoll ist... ;)

Bestimmt ist es eine gute Idee, die Verbreitung der beiden Varianten (und die Ursachen dafür) darzustellen. Ich denke aber, dass man sich innerhalb der Wikipedia auf eine Variante festlegen sollte, um dem Leser die Sicherheit zu geben, dass er weiß, was mit N gemeint ist (die Alternative wäre, in jedem Artikel, wo es drauf ankommt, dazuzuschreiben, ob die 0 als natürliche Zahl betrachtet wird). Ein entsprechender Absatz aus der englischen Seite lautet: "Wikipedia follows this convention [to include zero], as do set theorists, logicians, and computer scientists. Other mathematicians, primarily number theorists, often prefer to follow the older tradition and exclude zero from the natural numbers."

Und wie so oft ist der englische Artikel deutlich ausführlicher als der deutsche. --SirJective 23:49, 24. Sep 2004 (CEST)

Ich habe eben in Diskussion:Primzahl etwas dazu geschrieben, was unmittelbar hier auch hinpaßt. Mathematische Konventionen sind willkürlich und werden im Zweifelsfall nach ihrer Anwendbarkeit ausgewählt. Innerhalb der Peano-Aximo ist es völlig Wurscht, wie man das erste Glied der unendlichen Kette NENNT, hauptsache sie hat ein erstes Glied an einer Seite und ist an der anderen Seite unendlich.

Meines Wissens bildet heute die Mengenlehre die einfachste Basis, um alle bekannten formalen Systeme daraus zu konstruieren. Man konstruiert mit ihr sowohl die natürlichen Zahlen_ohne_0 als auch jene_mit_0. Zur einfachen Unterscheidung spricht man im einen fall von der "Menge der natürlichen Zahlen" (ohne explizit auf das "ohne_0" hinzuweisen), und im anderen Fall von der Mächtigkeit von Teilmengen der natürlichen Zahlen - bei denen plötzlich die 0 auftaucht, als Betrag der leeren Menge ( Eine Enzyklopädie sollte sich diese Methode zu eigen machen und jedes Lemma auf möglichst einfache Elemente zurückführen). Wenn eine Menge die zahl 0 enthält, so gibt es dennoch kein nulltes Element dieser Menge. Ein Element kann 0 sein, aber es kann sich nicht an nullter Position befinden. Im Gegensatz zum derzeitigen Artikeltext ist es tatsächlich sinnvoller, die 0 NICHT zur Menge N zu zählen, weil das die konstruktion aller anderen mengen, und damit die gesamte mathematik, vereinfacht.

ich möchte nur darauf hinaus, daß es falsch - oder zumindest subjektiv - ist, das Prädikat "sinnvoll" zu verwenden. --Modran 00:07, 25. Sep 2004 (CEST)

Ja, "sinnvoll" ist subjektiv und mathematische Definitionen willkürlich. Dem stimme ich zu. Was willst du noch aussagen?

Die "Mächtigkeit von Teilmengen der natürlichen Zahlen" umfasst auch die abzählbare Unendlichkeit, die nicht von N_0 erfasst wird. Von Neumanns Konstruktion liefert die 0 als natürliche Zahl, dargestellt durch die leere ("0-elementige") Menge. Gibt's ne einfachere Konstruktion, die 0 nicht als natürliche Zahl liefert? --SirJective 00:46, 25. Sep 2004 (CEST)

Reine Definitionsfrage. Die meisten Mathematiker starten bei 1, die theoretischen Informatiker bei 0 usw. Beide Gruppen gestalten dadurch ihre Darstellungen ein wenig netter. Hauptsache man hat induktive Mengen (Induktionsstart und Induktionsschritt) verstanden. --Marc van Woerkom 19:00, 25. Sep 2004 (CEST)

Es ist sehr wohl sinnvoll, wenn nicht gar notwendig, Null als natürliche Zahl anzusehen. Wenn man auf den Natürlichen Zahlen aufbaut und eine Abelsche_Gruppe konstruiert, braucht man ein Nullelement. Sobald man als Operation nicht nur die Multiplikation zulässt, bei der die 1 das Nullelement darstellt, sondern auch die Addition will, braucht man die Null - denn nur sie ist das Nullelement der Addition.

Natürliche Zahlen ohne 0 (Positive Zahlen) bilden keine abelsche Gruppe bezüglich der Addition. Spätestens, wenn man einen Körper bauen will, geht ohne die Null nichts mehr. Und für die meisten Sätze und Lemmata braucht man Körper.

Ja, aber die natürlichen Zahlen mit der Null bilden auch keine Gruppe. Darüber, dass die 0 eine ganze Zahl und eine rationale Zahl ist, gibt es keine Diskussionen; nur die Frage, ob die 0 als natürlich gilt, wird von verschiedenen Autoren (und in verschiedenen Epochen) verschieden gesehen. -- Wuzel 12:46, 14. Mär 2005 (CET)

Daher ist es sinnvoll, die Null als natürliche Zahl anzusehen, was Peano ja auch getan hat. Natürliche Zahlen ohne Null (Positive Zahlen) taugen für ein einfache Basteleien und Induktion, aber IMHO nicht für mehr. --Jwilkes 02:14, 13. Jan 2005 (CET)

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Ich habe gerade anlässlich letzter Änderungen in diesen Artikel geschaut und war auch etwas von der Definition von N irritiert, wiewohl auch ich schon mit natürlichen Zahlen zu tun hatte, die die Null umfassen. Ich würde die obige Diskussion gern noch mal aufkochen. Mal rein pragmatisch diskutiert: Es hängt natürlich immer von der eigenen Anwendung ab, was man als bequemer empfindet. Jetzt möchte ich aber daraufhinweisen, dass ja die Wikipedia auch von vielen Schülern frequentiert wird, die nicht gelernt haben, mit Freiheit der Lehre umzugehen, sondern gewissermaßen in N ohne Null dressiert worden sind. Die springen im Dreieck, wenn sie das jetzt hier umgekehrt lesen. Deshalb fände ich es angebracht, dass die allgemeine Darstellung mit N erfolgt, das die Null nicht enthält und der Hinweis für Akademiker gemacht wird, dass es auch ein Leben mit N und Null gibt. Akademiker können mit so was umgehen, es ist unangebracht, Schülern das zuzumuten. --Philipendula 11:36, 1. Dez 2004 (CET)

Ich weiß nicht, was "die meisten" Schüler lernen, und ich weiß nicht, wie alt Ihr alle seid. In den österreichischen Schulen wurde jedenfalls etwa im Jahr 1986 umgestellt -- davor war 0 (in der Schule) keine natürliche Zahl, jetzt ist sie eine. Das hing damals mit einer EU- (bzw EWG, oder wie das damals geheißen hat)-Empfehlung zusammen. -- Wuzel 12:46, 14. Mär 2005 (CET)

Ich kann mich an dieses Detail meiner eigenen Schulzeit nicht mehr sicher erinnern :) Aber ich glaube, dass wir sogar die positiven Brüche noch vor der 0 kennengelernt haben.

Das kann gut sein, das entspricht auch der historischen Entwicklung; die alten Griechen kannten positive Brüche bzw Verhältnisse, aber nicht die 0. -- Wuzel 12:46, 14. Mär 2005 (CET)

Ich könnte mir durchaus vorstellen, dass folgende Abschnitte auf "N ohne 0" umgestrickt werden:

• Einleitung
• Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen
• Peano-Axiome

Ob das einem Schüler hilft, weiß ich nicht, denn der nächste Abschnitt setzt explizit die 0 an den Anfang, und das sollte auch nicht geändert werden:

• Ein Modell der natürlichen Zahlen

Der folgende Abschnitt nimmt Bezug auf beide Varianten (eben weil es sie gibt):

• Bezeichnung der natürlichen Zahlen

Den letzten beiden Abschnitten scheint es egal zu sein, ob die 0 drin ist oder nicht:

• Primzahlen
• Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt

Wie ich im September schon angesprochen hatte, halte ich es darüberhinaus für eine gute Idee, die Verbreitung der Varianten und deren Ursachen darzustellen. Könnten wir damit auch "in N ohne Null dressierten Schülern" ;) klarmachen, dass und warum es auch anders geht?

Meinst du, wir sollten zusätzlich "auf die Jagd gehen", und die Verwendung von N in anderen Artikeln vereinheitlichen, oder nur jeweils (wo's drauf ankommt) dazuschreiben, welche Variante der Autor verwendet? Ich wäre für letzteres. --SirJective 12:31, 1. Dez 2004 (CET)

Tja... dass das Ganze noch einen Rattenschwanz an Artikeln verursacht, war mir nicht klar. Ich bin noch mal in mich gegangen. Früher habe ich die natürlichen Zahlen auch immer incl. Null behandelt, weil ja in den meisten Anwendungen die Null berücksichtigt werden muss und man sie sonst dauernd in einer Extra-Behandlung mitschleppen muss. Irgenwann bin ich dann umgeschwenkt, weil ich immer das Gefühl hatte, gegen "herrschendes Recht" zu verstoßen. Jetzt hab ich mal in den Bronstein geschaut: Da ist es auch mit Null. Vermutlich ist es doch pragmatischer, die Null drin zu lassen. Wie das heute in den Schulen gehandhabt wird, weiß ich nicht, vermute aber, dass sich nix geändert hat. Konvex und Konkav einer Funktion wurde, so weit ich weiß, in der Schule auch andersrum definiert. Von daher wäre auch dein Lösungvorschlag mit den Varianten ganz gut: Es wird in der Einleitung gaaanz groß und dick darauf hingewiesen, dass es zwei Lesarten gibt und dass man im akademischen Bereich aus praktischen Gründen die eine Art bevorzugt. Das müsste auch gehen. Die Schüler sollten halt nur nicht erst eine halbe Stunde versuchen, den Artikel zu verstehen, bis sie kapieren, was da falsch gelaufen ist. --Philipendula 13:26, 1. Dez 2004 (CET)

Ich finde, da hat Marc van Woerkom in der Einleitung des Artikels gute Arbeit geleistet.

Danke, Marc! --SirJective 13:31, 5. Dez 2004 (CET)

Sehe ich auch so. Danke!

Vorschlag: Für die "N ohne Null" sollte man immer $\mathbb {N} ^{+}$ verwenden. Das ist eindeutig, und stimmt auch mit den Büchern überein. Um Verwechslungen zu vermeiden, kann man dann auch $\mathbb {N} _{0}$ schreiben wenn man die kompletten Natürlichen Zahlen meint.

Die "Fortgeschrittenen" werden ohnehin zu Beginn ihrer Texte kurz benennen, was sie meinen, und ab da nur N schreiben. Für alle anderen sollte man IMHO explizit benennen, was man meint, und damit Mißverständnisse vermeiden. --Jwilkes 02:23, 13. Jan 2005 (CET)

So lange wir keine Instanz finden, die die Frage ein für alle Mal entscheiden könnte, scheint mir das ein guter Vorlschlag. Ich gehöre übrigens zur $\mathbb {N} _{0}$-Fraktion. -- RainerBi ✉ 07:18, 13. Jan 2005 (CET)

Redirect Peano-Arithmetik

Ich habe ein Redirect von Peano-Arithmetik erzeugt, da hier wesentliche Grundlagen stehen. Ein eigener Artikel wäre in Zukunft aber angebracht. --Hutschi 13:48, 23. Apr 2004 (CEST)

Nur dass hier immer noch ein Link auf Peano-Arithmetik steht ;-) rubik-wuerfel 30. Aug 2004

Blackboard Bold N vs IN

Also das $\mathbb {N}$ der TeX Schriftart Blackboard Bold (Tafel-Fett :) ist eigentlich nicht das N, was ich von dem Mathematikunterricht in Schule und der Uni her kenne. Denn das sieht eher so aus: |N.

Steht auch so im Unicode unter 2115, mathml Nopf: http://www.w3.org/TR/MathML2/double-struck.html

Ich vermute mal, dass es doch feine Unterschiede in USA und Deutschland (evt. Europa) gibt. Kennt sich da jemand mit aus? --Marc van Woerkom 11:59, 14. Mär 2005 (CET)

Keine Ahnung, aber trotzdem Senf:

Bei mir sieht Zeichen #2115, ℕ, im Browser wie die TeX-Variante aus, mit doppeltem Schrägbalken. Aber frag mich nicht, welche Schriftart das ist *g* In der normalen Schriftgröße sieht es allerdings unleserlich aus (noch schlimmer ist das beim bereits in einigen Artikeln verwendeten ℝ), besser erkennt man es vergrößert:

ℕ

Du hast schon recht, handschriftlich schreib auch ich den ersten senkrechten Balken doppelt, wie in "|N"; passend dazu finde ich in vielen TeX-Dateien das Makro "\IN" als Kürzel für "\mathbb{N}". --SirJective 12:37, 14. Mär 2005 (CET)

na, wenn wir schon bei diesem thema sind: in latex binde ich immer das package bbold ein, um via \mathbb tafelaehnliche (obgleich serifenlose) symbole fuer die verschiedenen zahlenmengen zu erhalten. hier in der wikipedia geht sowas aber nicht, oder? --seth 23:24, 14. Mär 2005 (CET)

In Latex würde ich das package bbm einbinden und \mathbbm{N}, zwar nicht vektoriell =>pixelig, aber "nach Norm", machen, nur weiß ich nicht ob das hier geht.. Victorolosaurus

Auch die 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung

Im Bereich der natürlichen Zahlen ? Von denen ist hier nämlich allein die Rede.

Ich kann eine solche eindeutige Primfaktorzerlegung der Zahl 1 nirgends finden, auch nicht "zwei Zeilen darunter". Bitte erkläre mir Dein Konzept der natürlichen Zahlen, und vor allem der eindeutigen Zerlegung der Zahl 1 genauer. Ich bin sehr neugierig...

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Zwei Zeilen darunter steht: Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.--MKI 02:25, 8. Apr 2005 (CEST)

Richtig ist: Ein Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Aber das ist Mengentheorie und hat nichts mit der Definition im Bereich der Zahlentheorie zu tun, wonach die Primfaktorzerlegung einer Zahl ein wenig anders definiert wird.

Und sei es auch nur die (in N unzerlegbare) Zahl 1.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Nur weil hier von einem leeren Produkt gesprochen wird, hat das mit Mengentheorie noch lange nichts zu tun.

Die Primfaktorisierung eines Produkts a*b ist das Produkt aus der Primfaktorisierung von a und der Primfaktorisierung von b. Dieser Sachverhalt bleibt richtig, wenn man der 1 das leere Produkt als Primfaktorisierung zuordnet. Auch sonst ergeben sich durch diese Definition keine Widersprüche, sondern sie fügt sich im Gegenteil nahtlos in die Theorie mit ein. Deshalb sind viele, auch ich, davon überzeugt, dass das leere Produkt die ganz natürliche Definition für die Primfaktorisierung der 1 ist (bzw. ist man allgemeiner mit der Konvention sehr glücklich, das leere Produkt als 1 zu definieren).

Bevor wir weiterdiskutieren, möchte ich dich um eines bitten: Schreib doch, worum es dir eigentlich geht. Dein Stil erweckt nämlich den Eindruck, dass du hauptsächlich dagegenreden möchtest und gar nicht so sehr daran interessiert bist, den Hintergrund für diese Konvention zu erfahren.--MKI 03:55, 8. Apr 2005 (CEST)

Na ja, ich bin ein sehr geduldiger Zuhörer. Ich möchte niemals nur _dagegen_ reden, wo es um etwas Ernsthaftes geht. Nur glaube ich nicht, daß es hier um etwas Ernsthaftes geht. Es sei denn, Du könntest mir eine _klare_ Erklärung dessen liefern, was Du unter "einer eindeutigen Primfaktorzerlegung" der Zahl 1 verstehst. Ich glaube nicht daran, daß Du dazu wirklich in der Lage bist, denn dazu müstest Du 1.) Entweder eine neue Mathematik erfinden; oder 2.) Einen der vielen Überzeugungstäter nennen, von denen Du behauptest, sie könnten Dir zur Seite springen ("Deshalb sind viele, auch ich, davon überzeugt,..."); und 3.) müßte dieser Zeuge auch noch viel verrückter denken als Du.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Schreibe hier die Zerlegung von 1 auf oder denke nach:___________

In dem Buch Zahlentheorie von Prof. Leutbecher steht auf Seite 18:

Satz 6 (Der Fundamentalsatz der Arithmetik in $\mathbb {Z}$). Jede natürliche Zahl kann in genau einer Weise geschrieben werden als Produkt

$n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}\qquad (r\geq 0,a_{i}\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq r$)

von Potenzen der Größe nach geordneten Primzahlen. Im Fall $r=0$ ist das leere Produkt als 1 zu lesen.

Solltest du dich weiterhin derart herablassend äußern und auf meine Argumente gar nicht eingehen, dann werde ich die Diskussion nicht fortführen.--MKI 10:55, 8. Apr 2005 (CEST)

Vielleicht kann ein Blick in den Kasten "Leere Produkte und Produkte mit nur einem Faktor" auf der Seite http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Fundamentalsatz_der_Arithmetik etwas mehr Klarheit verschaffen ? Oder der Artikel "Warum ist 1 keine Primzahl? "http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Warum_1_keine_Primzahl_ist ? Oder der Artikel "Prime Number" in http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html ?

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Ich hoffe, diese Zeilen klingen nicht "herablassend", sondern einfach nur sachlich.

Auf meinen Beitrag eingegagen bist du jedenfalls wieder nicht. Wenn du weiterdiskutieren willst, dann hole das bitte nach.--MKI 10:19, 10. Apr 2005 (CEST)

Ein Angebot: Schreibe Deinen Beitrag auf dieser Seite nochmals in Deinen Worten auf.

Dann werde ich ihn in meinen Worten klar und eindeutig beantworten. Soweit ich Dich bisher verstanden habe, behauptest Du, die Zahl 1 sei in natürliche Zahlen zerlegbar, was ich bestreite. Falls Du dies aber darlegen kannst (mit den Mitteln der anerkannten Zahlentheorie), dann gebe ich mich geschlagen.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Das Zitat von Herrn Professor Leutbecher (auf Seite 18) wird Dir hier nicht weiter helfen.

Hallo Hans und MKI.

Eine Anmerkung vorneweg: Da wir hier nur von natürlichen Zahlen sprechen, meine ich mit "Zahlen" nur diese.

Eine Frage ist, ob die 1 eine Primfaktorzerlegung hat.

Eine zweite Frage ist, wie das leere Produkt definiert ist. Da hat MKI eine Quelle genannt, die dem den Wert 1 zuordnet. Dem hat Hans zugestimmt.

Ich stimme Hans zu (und auch MKI wird da nichts gegenteiliges behaupten, denke ich), dass die Zahl 1 unzerlegbar ist - sofern man die (gerade ergänzte) Definition verwendet, dass eine zerlegbare (zusammengesetzte) Zahl ein Produkt mindestens zweier kleinerer Zahlen ist.

Trotzdem hat die 1 eine Primfaktorzerlegung, d.h. eine "Darstellung [...] als Produkt von Primzahlen" - die Anzahl der Primzahlen in diesem Produkt ist 0. Hans, warum meinst du, dass die Anangabe eines Zahlentheorie-Lehrbuchs da nicht weiterhilft? Und was möchtest du mit den drei gegebenen Links belegen; kannst du das bitte noch erläutern?

Hans, im übrigen finde ich deinen Ton unangemessen. Von "Überzeugungstätern" zu sprechen, und sein Gegenüber zum Nachdenken aufzufordern halte ich für unfreundlich (glaubst du, MKIs Reaktion ist ein Reflex, wo kein Nachdenken nötig war?! - So kommt es mir vor).

--SirJective 18:17, 10. Apr 2005 (CEST)

Danke SirJective, dass du hier mit eingestiegen bist. Ich versuche mich auch noch mal an einem Klärungsversuch:

Zerlegen im intuitiven Sinn kann man eine Zahl nur dann, wenn man sie irgendwie in handfeste Teile aufspalten kann, wenn sie also aus Produkt von mindestens 2 nichttrivialen Faktoren geschrieben werden kann. Es ist aber auf sehr konsistente Art möglich und deshalb gang und gäbe, auch Produkte aus einem oder gar keinem Faktor zuzulassen. Und damit kann dann auch den Primzahlen und der Eins eine Primfaktorzerlegung im Sinne eines solchen Produktes mit beliebig vielen Faktoren zugeordnet werden.

Wie schreibt man ein solches Produkt konkret nieder? Z.B. indem man die (Multi-)Menge der Faktoren nennt. Für die Zahl 6 ergibt sich {2,3}, für die Zahl 2 ergibt sich {2} und für die Zahl 1 ergibt sich die leere Menge {}, weshalb das Produkt aus keinem Faktor auch als leeres Produkt bezeichnet wird.

Das was ich hier aufgeschrieben habe steckt im Prinzip auch in der Passage von Leutbecher. Die Anzahl der Faktoren ist dort r, und auf den Fall $r=0$ weist er ja sogar gesondert hin.

Fazit: Auch wenn man manche Zahlen (die Eins und die Primzahlen) nicht zerlegen kann, so haben sie doch eine Primfaktorzerlegung.--MKI 23:36, 10. Apr 2005 (CEST)

Vielen Dank für die Klarstellung, MKI. Die kanonische Primfaktorzerlegung von Prof. Leutbecher ist völlig in Ordnung, aber aus ihr läßt sich mitnichten die Möglichkeit einer

Primfaktorzerlegung von 1 oder einer Primzahl in $\mathbb {N}$ ableiten. Diese kanonische Darstellung besagt lediglich etwas über das "mehrfache" Vorkommen "gleicher" Primfaktoren in der vollständigen Zerlegung einer natürlichen Zahl. Das "p" in der Gleichung steht nämlich bereits für eine Primzahl ("von Potenzen der Größe nach geordneten Primzahlen."). Das heißt: für eine natürliche Zahl > 1. Mit der Erklärung "Im Fall r = 0 ist das leere Produkt als 1 zu lesen." (also r < i) folgt Prof. Leutbecher einer wohlbekannten Konvention unter Mathematikern, welche besagt: Falls die obere Grenze eines Produkts (oder einer Summe) die untere Grenze unterschreitet (wie in diesem Beispiel: r < i), dann bedarf es einer "Erklärung dieses Sachverhalts", um die Allgemeingültigkeit des Satzes zu gewährleisten. Aus dieser Gleichung läßt sich demnach weder die Möglichkeit einer Primfaktorzerlegung der 1 noch der Primfaktorzerlegung einer Primzahl in $\mathbb {N}$ ableiten. Das hier Gesagte hat überhaupt nichts mit "Intuition" zu tun, sondern einzig mit mathematischer Konvention und deren richtiger Interpretation.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Für etwaige Grobheiten in meinen vorherigen Beiträgen bitte ich um Verzeihung. Falls keine Einwände von Deiner Seite mehr folgen, sollte diese Diskussion beendet sein. Andernfalls werde ich natürlich auf alle Deine künftigen Einwände eingehen.