Jordan-Maß

Das Jordan-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurückgeht, welcher ihn im Jahr 1890 entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man beschränkten Teilmengen der $\mathbb {R} ^{n}$ einen Inhalt zuordnen und erhällt einen Integralbegriff, der dem Riemann'schen Integralbegriff analog ist.

Definition

Seien

J^{n}:=\{]a,b[:a,b\in \mathbb {R} ^{n},a\leq b\}

und

{\mathcal {J}}^{n}:=\{\bigcup _{k=1}^{m}I_{k}:I_{1},\ldots ,I_{m}\in J^{n},\ {\text{disjunkt}}\}

Mengensysteme.

Eine Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt Jordan-messbar, wenn $A$ beschränkt ist und

\sup\{\lambda ^{n}(M):M\in {\mathcal {J}}^{n},M\subset A\}=\inf\{\lambda ^{n}(N):N\in {\mathcal {J}}^{n},N\subset A\}

gilt. Dabei bezeichnet $\lambda ^{n}$ das Lebesgue-Prämaß, welches für $a=(a_{1},\ldots ,a_{n}),b=(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ durch

\lambda ^{n}\left(]a,b[\right)=\prod _{j=1}^{n}(b_{j}-a_{j})

definiert ist.

Eigenschaften

Ist $A\subset R^{n}$ Jordan-messbar, so ist $A$ auch Lebesgue-messbar und es gilt ${\mathcal {L}}^{n}(A)=i^{n}(A)$ .
Eine Menge $A\subset R^{n}$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn $A$ beschränkt ist und der Rand von $A$ eine Jordan-Nullmenge ist.
Eine beschränkte Menge $A\subset R^{n}$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn $\lambda ^{n}(A^{\circ })=\lambda ^{n}({\overline {A}})$ ist. Dann gilt auch $i^{n}(A)=\lambda ^{n}(A^{\circ })=\lambda ^{n}({\overline {A}})$ .
Eine kompakte Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn $A$ eine Jordan-Nullmenge ist.

Literatur

Wolfgang Walter: Analysis II. Springer 1991, 2. Auflage, ISBN 3-540-54566-2, S. 224-226.

Weblinks