Formelsammlung Geometrie

Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Geometrie in der Ebene

Winkel

Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.	Datei:Nebenwinkel.png
Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Außenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360° Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)·180°

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung

Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in n gleiche Teile) zu teilen, zeichne man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist. Auf diesem trage man n mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt C verbinde man mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile.

Dreieck

• Gleichseitiges Dreieck

Alle Seiten sind gleich lang Alle Winkel sind gleich groß (60°) Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale

• Gleichschenkliges Dreieck

Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel a und b); die dritte Seite heißt Basis c Die beiden Basiswinkel ($\alpha$ und $\beta$) sind gleich groß Die Höhenlinie durch C halbiert den Winkel $\gamma$ Die Höhenlinie durch C halbiert die Basis c

• Rechtwinkliges Dreieck

$\alpha$ + $\beta$ = 90° Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden Satz des Pythagoras: (1. Kathete)2 + (2. Kathete)2 = (Hypotenuse)2 bzw. a2 + b2 = c2

• Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) teilen einander im Verhältnis 2:1. Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Die Seitenhalbierende (Schwerlinie) teilt die Dreiecksfläche in 2 gleich große Teilflächen.

• Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Mittennormalen)

1. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises.

• Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises. w$\alpha$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.

• Schnittpunkt der Höhenlinien

Die Höhenlinien schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks. Die Höhe hc ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c (rechter Winkel bei D). D ist der Höhenfußpunkt von hc.

• Flächenberechnung mit Grundseite und zugehöriger Höhe

$A={\frac {g\cdot h}{2}}$

• Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Katheten

$A={\frac {a\cdot b}{2}}$

• Flächenberechnung mit zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel

$A={\frac {b\cdot c\cdot \sin(\alpha )}{2}}$

(b und c sind die den Winkel $\alpha$ einschließenden Seiten)

• Heronsche Formel (Flächenberechnung aus den drei Seitenlängen)

$A={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}$

Satzgruppe des Pythagoras

• Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

• Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse:

$a^{2}=p\cdot c,\ b^{2}=q\cdot c$

• Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.

$h^{2}=q\cdot p$

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

1. drei Seiten z. B. a, b, c = n (sss)
2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte.

Vierecke

Quadrat (Geometrie)

• Quadrat Umfang:

$U=4\cdot a$

• Quadrat Fläche:

$A=a\cdot a$

• Diagonale im Quadrat:

$d=a\cdot {\sqrt {2}}$

Rechteck

• Rechteck Umfang:

$U=2\cdot (a+b)$

• Rechteck Fläche:

$A=a\cdot b$

Raute (Rhombus)

• Raute Umfang:

$U=4\cdot a$

• Raute Fläche:

$A={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot f$

$A=a^{2}\cdot \sin \beta$

Parallelogramm (Rhomboid)

• Parallelogramm Umfang:

$U=2\cdot (a+b)$

• Parallelogramm Fläche:

$A=a\cdot h_{a}\,$

Trapez

• Trapez Umfang:

$U=a+b+c+d\,$

• Trapez Flächeninhalt:

$A={\frac {1}{2}}\cdot (a+c)\cdot h$

Regelmäßige Vielecke (n-Ecke)

• n = Anzahl der Ecken
• r_u = Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einem Eck
• r_i = Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
• l_k = Kantenlänge einer Seite des Vielecks
• U = Umfang des n-Ecks
• A = Fläche des n-Ecks

In Bezug auf r_u:

• $U=2\cdot n\cdot r_{\mathrm {u} }\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$
• $A={\frac {n\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin {\frac {360^{\circ }}{n}}}{2}}$

In Bezug auf r_i:

• $U=2\cdot n\cdot r_{\mathrm {i} }\cdot \tan {\frac {180^{\circ }}{n}}$
• $A=n\cdot r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan {\frac {180^{\circ }}{n}}$

In Bezug auf l_k:

• $U=n\cdot l_{\mathrm {k} }$
• $A={\frac {n\cdot l_{\mathrm {k} }^{2}\cdot \cot {\frac {180^{\circ }}{n}}}{4}}$

Kreis, Kreisteile

• Umfang:

$U=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$

• Kreisfläche:

$A=\pi \cdot r^{2}={1 \over 4}\cdot \pi \cdot d^{2}$

[ $\pi \approx 3{,}1415$ (siehe Pi (Kreiszahl)) ]

• Fläche eines Kreisringes mit Außenradius $R$ und Innenradius $r$

$A=\pi \cdot (R^{2}-r^{2})$

• Länge eines Kreisbogens

$b=2\cdot \pi \cdot r\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}$

• Die 2 in der Formel lässt sich gegen 360° kürzen. So entsteht die etwas kürzere Formel:

$b=\pi \cdot r\cdot {\alpha \over 180^{\circ }}$

• Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor)

$A=\pi \cdot r^{2}\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}$

$A={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot r$

• Radius

$r={\sqrt {{A\cdot 360}{pi\cdot \alpha }}}$

• Fläche eines Kreisabschnittes (Segment)

$A={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left({\frac {\pi \cdot \alpha }{\displaystyle 180^{\circ }}}-\sin \alpha \right)$

Oder im Bogenmaß: $A={\frac {r^{2}}{2}}\cdot (\alpha -\sin \alpha )$

Ellipse

• In Kartesischen Koordinaten (x, y) hat eine Ellipse mit den Halbachsen a und b die Form

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

• Flächeninhalt (Inneres der Ellipse)

$A=2\cdot \int _{-a}^{a}{\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\ dx=\pi ab$

• D = großer Durchmesser, d = kleiner Durchmesser

$A={\frac {\pi }{4}}D\cdot d$

Geometrie der Körper

Kegel

• Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln

$V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h$

• Mantel von senkrechten Kegeln

$M=\pi \cdot r\cdot s$

• Oberfläche von senkrechten Kegeln

$O=r^{2}\cdot \pi +\pi \cdot r\cdot s=r\cdot \pi \cdot (r+s)$

• Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe

$s^{2}=r^{2}+h^{2}\,$

Kugel und Kugelteile

• Volumen einer Kugel

$V={4 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{3}={1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^{3}$

• Oberfläche einer Kugel

$O=4\cdot \pi \cdot r^{2}=\pi \cdot d^{2}$

• Umfang einer Kugel

$U=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$

• Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)

h läuft entlang dem Durchmesser.

$A=2\cdot r\cdot \pi \cdot h$

• Kugelsegment (Kugelabschnitt)

$O=2\cdot r\cdot \pi \cdot h+\rho ^{2}\pi$ mit :$\rho ^{2}=h\cdot (2r-h)$

$V={h^{2}\cdot \pi \over 3}\cdot (3r-h)$

• Kugelzone

$A=2\cdot r\cdot \pi \cdot h$

• Kugelschicht

$O=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a^{2}+b^{2})$

mit $2\cdot a$ = Durchmesser des unteren Schnittkreises und $2\cdot b$ = Durchmesser des oberen Schnittkreises

$V=\pi \cdot h(3\cdot a^{2}+3\cdot b^{2}+h^{2})/6$

• Distanz der Punkte $P_{1}=(r,\sigma _{1},\theta _{1})$ und $P_{2}=(r,\sigma _{2},\theta _{2})$ in Kugelkoordinaten

$d=r\cdot \arccos \left(\sin(\sigma _{1})\cdot \sin(\sigma _{2})+\cos(\sigma _{1})\cdot \cos(\sigma _{2})\cdot \cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)$

Ellipsoid und Drehkörper

Ellipsoid

• Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a,b,c:

$V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c\,$

• Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a,b; Rotationsachse a:

$V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b^{2}\,$

Pyramide

Pyramide mit der Grundrisslänge $a$ und der Höhe $h$

• Oberfläche: Die Oberfläche $O$ setzt sich zusammen aus dem Quadrat als Grundfläche und den vier Seitenflächen:

$O=a^{2}+2\cdot a\cdot h_{s}$

• Volumen: Legt man um die Pyramide ein quadratischer Quader mit der Grundrisslänge $a$ und der Höhe $h$ und verschiebt die Spitze der Pyramide in eine Quaderecke, so entsteht eine schiefe Pyramide mit gleichem Volumen. Dann gibt es noch zwei weitere Pyramiden gleichen Volumens. Die drei Pyramiden füllen den Quader aus. Das Volumen einer Pyramide ist gleich:

$V={\frac {a^{2}\cdot h}{3}}$

Säulen

Rundsäule (Zylinder)

Das Volumen einer Rundsäule ist das Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche G und der Höhe der Säule h:

${\begin{aligned}V_{\mathrm {Runds{\ddot {a}}ule} }&=\ \ G&\cdot h_{\mathrm {S{\ddot {a}}ule} }\\&=\overbrace {\pi \cdot r^{2}} &\cdot h_{\mathrm {S{\ddot {a}}ule} }\\\end{aligned}}$

(Flächeninhalt eines Kreises ist π · r² )

Dreiecksäule (Prisma)

Das Volumen einer Dreiecksäule ist das Produkt aus der dreieckigen Grundfläche G und der Höhe der Säule h:

${\begin{aligned}V_{\mathrm {Dreiecks{\ddot {a}}ule} }&=\ \ \ G&\cdot h_{\mathrm {S{\ddot {a}}ule} }\\&=\overbrace {\frac {g\cdot h_{\triangle }}{2}} &\cdot h_{\mathrm {S{\ddot {a}}ule} }\\\end{aligned}}$

(Flächeninhalt eines Dreiecks (g·h)/2 mit der Dreieckshöhe h und der Grundseite g)

Vierecksäule (Quader / Würfel)

Das Volumen V einer Vierecksäule ist das Produkt aus der Grundfläche G und der Höhe der Säule h:

${\begin{aligned}V_{\mathrm {Vierecks{\ddot {a}}ule} }&=\ \ G&\cdot h_{\mathrm {S{\ddot {a}}ule} }\\&=\overbrace {a\cdot b} &\cdot h_{\mathrm {S{\ddot {a}}ule} }\\\end{aligned}}$

Ebene Trigonometrie

Trigonometrische Funktionen

Definitionen

• Sinus

$\sin \alpha ={\frac {\rm {Gegenkathete}}{\rm {Hypotenuse}}}={\frac {a}{c}}$

• Kosinus

$\cos \alpha ={\frac {\rm {Ankathete}}{\rm {Hypotenuse}}}={\frac {b}{c}}$

• Tangens

$\tan \alpha ={\frac {\rm {Gegenkathete}}{\rm {Ankathete}}}={\frac {a}{b}}$

Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,$

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

$\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha )$

Vorzeichen der Funktionen für Winkel zwischen 0° und 360°

$\sin x>0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in \left]0^{\circ },180^{\circ }\right[$

$\sin x<0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in \left]180^{\circ },360^{\circ }\right[$

$\cos x>0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in \left]0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[$

$\cos x<0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in \left]90^{\circ },270^{\circ }\right[$

$\tan x>0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in \left]0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]180^{\circ },270^{\circ }\right[$

$\tan x<0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in \left]90^{\circ },180^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[$

Die Vorzeichen von cot, sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan, cos bzw. sin.

Sinussatz

${{\sin \alpha } \over a}={{\sin \beta } \over b}={{\sin \gamma } \over c}={1 \over {2r}}$

Kosinussatz

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Grad und Radiant

• Gradmaß/Grad: 360° entsprechen einem Vollwinkel
• Neugrad: 400^g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
• Bogenmaß/Radiant: 2$\pi$ entsprechen einem Vollwinkel

Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

$b={{2\cdot \pi \cdot \alpha } \over 360^{\circ }}={{\pi \cdot \alpha } \over 180^{\circ }}\,$

Näherungen für sin x, cos x und tan x

Für kleine Winkel x gilt (Kleinwinkelnäherung):

$\sin(x)\approx x{}\,$.

(der Näherungwert ist im Bogenmaß) denn für die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 gilt:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{}\,$

analog gilt

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\,$

$\tan(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }2^{2n}(2^{2n}-1)\left|B_{n}\right|{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}\,$

mit Wertebereich $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$. $B_{n}$ sind die Bernoulli-Zahlen:

$B_{1}={\frac {1}{6}},B_{2}={\frac {1}{30}},B_{3}={\frac {1}{42}},B_{4}={\frac {1}{30}},B_{5}={\frac {5}{66}},\dots$

Arcusfunktionen

Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen (sin, cos, tan, …). Die Funktionswerte der Arcusfunktionen sind die zugrundeliegenden Winkel der Winkelfunktionen.