Kurvendiskussion

Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf dessen Eigenschaften, wie zum Beispiel Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, Polstellen, Verhalten im Unendlichen usw. Die Ergebnisse einer solchen Kurvendiskussion erleichtern die Anfertigung einer Skizze des Graphen.

Definitionsbereich

Zunächst hilft ein Überblick, für welche Zahlenmenge die Funktion überhaupt definiert ist. Für gebrochen rationale Funktionen läuft dies auf die Bestimmung der Polstellen hinaus und kann auch dort behandelt werden. Ansonsten sind bekannte Einschränkungen von Standardfunktionen nützlich, wie beispielsweise, dass nicht durch 0 dividiert werden darf oder dass Quadratwurzeln aus negativen Zahlen nicht reell sind.

Beispielsweise ist der Definitionsbereich $D=\;]-4,-3[\;\cup \;]-3,3[\;\cup \;]3,5]$ von $f(x)={\frac {\ln(x+4)}{{\sqrt {25-x^{2}}}-4}}$ durch folgende Einschränkungen bestimmt:

• Es muss $x>-4$ gelten, damit der Logarithmus definiert ist.
• Es muss $-5\leq x\leq 5$ gelten, damit die Wurzel definiert ist.
• Es muss ${\sqrt {25-x^{2}}}-4\neq 0$, das heißt $x\neq \pm 3$, gelten, damit nicht durch 0 dividiert wird.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Nullstellen einer Funktion f und damit die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse zu finden, wird die Lösungsmenge der Gleichung f(x) = 0 berechnet. Die genaue Vorgehensweise hängt davon ab, welche Funktion untersucht wird. Ist die Funktion f beispielsweise durch einen Bruchterm gegeben, so wird der Zähler gleich 0 gesetzt, um die Nullstellen zu erhalten.

Um den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse zu bestimmen, wird für x der Wert 0 eingesetzt. Der Y-Achsenabschnitt liegt dann folglich bei (0 | f(0)).

Extrempunkte

Um die Extrempunkte - das heißt Hoch- und Tiefpunkte - einer stetig differenzierbaren Funktion $f$ zu bestimmen, wird die erste Ableitung von $f$ gleich 0 gesetzt, das heißt, die Lösungsmenge der Gleichung $f'~(x)=0$ wird berechnet. Alle Lösungen dieser Gleichung sind mögliche Extremstellen: Damit $x_{E}$ eine Extremstelle ist, muss dort die Steigung von $f$ zwingend notwendig 0 sein. Dies ist lediglich eine notwendige Bedingung für Extremstellen.

Eine Stelle mit der Steigung 0 könnte auch ein Sattelpunkt sein. Das Standardbeispiel für einen Sattelpunkt ist $f(x)=x^{3}$ an der Stelle 0. Die Tatsache, dass eine Kurve an einer Stelle $x_{E}$ die Steigung 0 hat, ist notwendig dafür, dass dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Diese Tatsache ist nicht hinreichend - das heißt nicht ausreichend - für das Vorliegen einer Extremstelle.

Darum besteht die hinreichende Bedingung für Extremstellen aus zwei Teilen:

1. $f'~(x_{E})=0$ und
2. $f''~(x_{E})\neq 0$.

Mit diesen beiden Bedingungen in Kombination lässt sich folgende Schlussfolgerung formulieren: Wenn an der Stelle $x_{E}$ die erste Ableitung Null ist und wenn an dieser Stelle $x_{E}$ die zweite Ableitung ungleich 0 ist, dann ist $x_{E}$ eine Extremstelle von $f$ und keine Sattelstelle.

Der $f''~$-Test: Mit Hilfe der zweiten Teilbedingung oben lassen sich aus der Menge der Stellen mit waagerechter Tangente die Hoch- und die Tiefstellen ermitteln: Ist die zweite Ableitung größer 0, handelt es sich um eine Tiefstelle, ist sie kleiner als 0, handelt es sich um eine Hochstelle. Ist sie jedoch auch gleich 0, so lässt sich daraus nichts schließen, sondern weitere Untersuchungen sind nötig, um zu entscheiden, ob eine Extremstelle vorliegt oder nicht. Das bedeutet konkret, dass solange abgeleitet werden muss, bis eine Ableitung gerader Ordnung - vierter, sechster,... Ordnung - vorliegt, die an dieser Stelle ungleich 0 ist. Einfachstes Beispiel: $f(x)=x^{4}~$. Ihr Graph hat an der Stelle 0 einen Tiefpunkt. Die zweite Ableitung ist $f''~(x)=12x^{2}$. Der $f''~$-Test liefert $f~''(0)=0$. Daraus lässt sich nicht erschließen, dass $x=0$ Tiefstelle ist. Werden noch weitere Ableitungen gebildet, so finden sich $f~''''(x)=f^{(4)}(x)=24$, und aus $f^{(4)}(0)=24>0$ lässt sich erschließen, dass an der Stelle $x_{E}=0$ eine Tiefstelle vorliegt.

Anschaulich bedeutet $f'~(x_{E})=0$, dass an dieser Stelle $x_{E}$ die Tangente von $f~$ waagrecht verläuft, das heißt eine Steigung von 0 hat.

Test auf Vorzeichenwechsel von $f'~$ (VZW-Test): Statt zu prüfen, ob die zweite Ableitung an der Stelle $x_{E}$ kleiner oder größer 0 ist, lässt sich auch untersuchen, ob die erste Ableitung an der Stelle $x_{E}$ ihr Vorzeichen wechselt.

Durchläuft man sowohl im wörtlichen als auch übertragenen Sinne eine Kurve an einem Hochpunkt von links nach rechts, so lässt sich das Verhalten von $f$ bzw. das der Steigung von $f~$ folgendermaßen beschreiben:

1. Vor der Hochstelle steigt die Kurve, es geht bergauf. Die Tangente bzw. Steigung ist positiv.
2. An der Hochstelle selbst ist die Steigung 0. Die Tangente bzw. Steigung also waagerecht.
3. Hinter der Hochstelle fällt die Kurve, es geht bergab. Die Tangente bzw. Steigung ist negativ.

Für das oben erwähnte Beispiel $f(x)=x^{4}~$ bedeutet dies: $f'(x)~=4x^{3}=0$ liefert als Stelle mit waagerechter Tangente und damit als Kandidaten für eine Extremstelle $x=0$. Um mit dem VZW-Test nachzuweisen, dass dies eine Tiefstelle ist, wird ein x-Wert "auf dem Zahlenstrahl wenig vor oder wenig links von" 0 und einen x-Wert "auf dem Zahlenstrahl wenig hinter oder wenig rechts von" 0 in die erste Ableitung eingesetzt, um die Steigung vor und hinter der Stelle 0 zu ermitteln. Dies liefert zum Beispiel $f'~(-0.1)=-0.004$ und $f'~(0.1)=0.004$. Vor der Stelle 0 ist die Steigung negativ, hinter der Stelle 0 dagegen positiv. Somit muss $x=0$ eine Tiefstelle sein.

Wichtig für die Gültigkeit des VZW-Tests ist, dass zwischen $x_{E}$ und den Teststellen davor und dahinter keine Definitionslücken und keine weiteren Nullstellen der Ableitung liegen.

Auch der VZW-Test stellt lediglich eine hinreichende Bedingung dar. Es gibt Funktionen, bei denen sich nicht entscheiden lässt, ob ein VZW vorliegt oder nicht.

Als dritte Möglichkeit lässt sich alternativ prüfen, ob die Funktion selbst an den Testpunkten größer bzw. kleiner ist als bei $x_{E}$.

Historische Randbemerkung: Die Bestimmung der Extrema aus der Tangentensteigung wurde erstmals von Fermat in einem Brief an Descartes vorgeschlagen - bevor es den Ableitungsbegriff gab.

Wendepunkte

Die Wendepunkte einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f sind die Extrempunkte der Ableitungsfunktion f '. Sie werden ermittelt, indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, das heißt die Lösungsmenge der Gleichung f ''(x) = 0 berechnet wird. Auch hier gibt es nur eine notwendige Bedingung, sodass weitere Untersuchungen durchzuführen sind. Wenn zum Beispiel die dritte Ableitung der Funktion f an der fraglichen Stelle ungleich 0 ist, so handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle. Ist die dritte Ableitung gleich 0, so ist damit nicht gezeigt, dass an dieser Stelle keine Wendestelle ist. In diesem Fall ist auf Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung unmittelbar vor und hinter der fraglichen Stelle zu untersuchen (vgl. Untersuchung auf Extrempunkte). Tritt ein Vorzeichenwechsel auf, so handelt es sich um eine Wendestelle. Ist das Vorzeichen der 2. Ableitung vor und hinter der Stelle gleich, so ist für die Anforderungen in der Schule zwar davon auszugehen, dass es sich um keine Wendestelle handelt, es gibt jedoch Funktionen, bei denen trotzdem eine Wendestelle vorliegt. Dieses Kriterium kann alternativ zum erstgenannten Kriterium (3. Ableitung ungleich 0) angewendet werden und ist für die Anforderungen der Schule sicherer und bei gebrochenrationalen Funktionen sinnvoller.

Ist der Wert der dritten Ableitung an dieser Stelle größer 0, handelt es sich um eine Wendestelle mit Übergang in eine „Linkskrümmung“, ist er kleiner 0, so handelt es sich um eine Wendestelle mit Übergang in eine „Rechtskrümmung“.

Sattelpunkte

Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente nennt man einen Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Für ihn gilt demnach f '(x)=0 und f ''(x) = 0, wie im Beispiel der Funktion mit der Gleichung

$f(x)={x^{3}}$

an der Stelle x = 0.

Datei:Xhoch3.PNG

Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch f '(x)=0 und f ''(x) = 0 werden, ohne dass ein Sattelpunkt auftritt, wie im nachfolgenden Beispiel gezeigt wird:

$f(x)={x^{4}}$

Datei:Xhoch4.PNG

Erst wenn $f'''\neq 0$ ist, ist ein Sattelpunkt erwiesen; allgemeiner gilt: Es liegt ein Wendepunkt vor, wenn der Grad der ersten von 0 verschiedenen Ableitung ungerade ist; ist der Grad gerade, so handelt es sich um ein Extremum.

Polstellen

Eine Polstelle liegt bei gebrochen-rationalen Funktionen genau dann an einer Stelle p vor, wenn das Nennerpolynom eine Nullstelle bei p hat und das Zählerpolynom eine Nullstelle einer niedrigeren Ordnung bei p oder keine Nullstelle bei p hat.

Haben sowohl das Zähler- als auch das Nennerpolynom bei p eine Nullstelle und ist die Ordnung der Nullstelle im Zählerpolynom nicht kleiner als die des Nennerpolynoms, handelt es sich um eine stetig hebbare Definitionslücke.

In der Hochschulmathematik gibt es noch weitere Arten von nicht definierten Stellen, die weder hebbare Lücken noch Polstellen sind.

Lücke

Im Falle von gebrochenrationalen Funktionen liegt an einer Stelle $x_{0}$ eine stetig behebbare Definitionslücke vor, falls $x_{0}$ nicht nur eine Nullstelle des Nenners, sondern auch eine Nullstelle des Zählers von mindestens gleich großem Grad ist. In diesem Fall lässt sich der zugehörige Linearfaktor $(x-x_{0})$ kürzen.

Beispiel: ${\frac {x^{2}-4}{x-2}}$ hat an der Stelle $x=2$ eine hebbare Definitionslücke. Durch Kürzen des Faktors $(x-2)$ entsteht:

${\frac {x^{2}-4}{x-2}}={\frac {(x+2)\cdot (x-2)}{x-2}}=x+2$ (für $x\neq 2$).

Eine andere Möglichkeit zu testen, ob an der Stelle $x_{0}$ eine stetig behebbare Definitionslücke vorliegt, besteht darin, den Grenzwert $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ zu berechnen. Wenn dieser Limes existiert und endlich ist, liegt eine stetig behebbare Lücke vor.

Verhalten im Unendlichen

Um das Verhalten im Unendlichen herauszufinden, wird der Funktionswert der Funktion f(x) untersucht, wenn x über alle Grenzen wächst, also gegen ∞ geht:

$\lim _{x\to \infty }f(x)\;;$

Entsprechendes für -∞.

Übersicht über Kriterien

Diskutiert wird $f:x\mapsto f(x)$
Untersuchungsaspekt	Kriterium
Nullstelle	$f(x_{N})=0\,$
Extremstelle	$f'(x_{E})=0\,$	(notwendiges Kriterium)
	$f'(x_{E})=0\land f''(x_{E})\neq 0$	(hinreichendes Kriterium)
Minimalstelle	$f'(x_{E})=0\,$	(notwendiges Kriterium)
	$f'(x_{E})=0\land f''(x_{E})>0$	(hinreichendes Kriterium)
Maximalstelle	$f'(x_{E})=0\,$	(notwendiges Kriterium)
	$f'(x_{E})=0\land f''(x_{E})<0$	(hinreichendes Kriterium)
Wendestelle	$f''(x_{W})=0\,$	(notwendiges Kriterium)
	$f''(x_{W})=0\land f'''(x_{W})\neq 0$	(hinreichendes Kriterium)
Sattelstelle	$f'(x_{W})=0\land f''(x_{W})=0$	(notwendiges Kriterium)
	$f'(x_{W})=0\land f''(x_{W})=0\land f'''(x_{W})\neq 0$	(hinreichendes Kriterium)
Verhalten im Unendlichen	$\lim _{x\to \infty }f(x)$,	$\lim _{x\to -\infty }f(x)$
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse	$f(x)=f(-x)\,$
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung	$-f(x)=f(-x)\,$
Monotonie
steigend/streng steigend	$f'(x)\geq 0$	$f'(x)>0\,$
fallend/streng fallend	$f'(x)\leq 0$	$\,f'(x)<0$
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)	$f''(x)\geq 0\,$
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)	$f''(x)\leq 0\,$
Periodizität	$f(x+p)=f(x)\,$
Diskutiert wird $f:x\mapsto {\frac {p(x)}{q(x)}}$
Untersuchungsaspekt	Kriterium
Definitionsbereich	$\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid q(x_{0})=0\rbrace$
Polstelle	$q(x_{p})=0\,$	(notwendiges Kriterium)
	$q(x_{p})=0\land p(x_{p})\neq 0$	(hinreichendes Kriterium)

Beispiel: Ganzrationale Funktion

Graph der Funktionen f, f ' und f ''

Die zu untersuchende Funktion sei:

$f(x)=3x^{3}-5x^{2}+8$

Der Graph der Funktion f ist im Bild schwarz dargestellt, zudem sind die erste (rot) und zweite (blau) Ableitung eingetragen:

Nullstellen

Durch Ausprobieren (zum Beispiel durch Anfertigen einer Wertetabelle) oder gemäß der Folgerung mit dem Wissen nach Gauß, dass jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des absoluten Gliedes 8 sein muss, lässt sich die Nullstelle $x=-1$ finden. Gäbe es keine derart einfach erkennbare Nullstelle, so ließe sich die Formel von Cardano für Gleichungen 3. Grades oder das newtonsche Näherungsverfahren anwenden.

Zur Nullstelle $x=-1$ gehört der Linearfaktor $(x-(-1))=(x+1)$. Um die weiteren Nullstellen zu finden, wird eine Polynomdivision durch diesen Linearfaktor durchgeführt und setzt das Ergebnis gleich 0. Auf diese Weise reduziert sich der Grad der Gleichung um 1.

$(3x^{3}-5x^{2}+8):(x+1)=3x^{2}-8x+8$

Die neue Gleichung $3x^{2}-8x+8=0$ hat keine Lösung. $x=-1$ ist folglich die einzige reelle Nullstelle.

Extrempunkte

Die erste Ableitungsfunktion ist

$f'(x)=9x^{2}-10x\,$.

Diese besitzt Nullstellen bei $x_{1}=0$ und bei $x_{2}={\frac {10}{9}}$. Dies bedeutet, dass hier Extremstellen vorliegen können.

Die zweite Ableitungsfunktion

$f''(x)=18x-10\,$

hat an obigen Stellen die Funktionswerte

$f''(x_{1})=18\cdot 0-10=-10<0$

bzw.

$f''(x_{2})=18\cdot {\frac {10}{9}}-10=10>0$.

Daher hat der Funktionsgraph bei $x_{1}$ einen Hochpunkt (erste Ableitung gleich 0, zweite Ableitung negativ) und bei $x_{2}$ einen Tiefpunkt (erste Ableitung gleich 0, zweite Ableitung positiv).

Wendepunkte

Die zweite Ableitung wird für x₃ = 5/9 Null, das heißt, dass sich dort ein Wendepunkt befindet.

Polstellen gibt es bei Polynomen nicht. Als Polynom ungeradzahliger Ordnung (höchster Exponent bei x³) geht die Funktion gegen +∞ bzw. -∞, wenn x gegen +∞ bzw. -∞ geht.

Beispiel: Gebrochen-rationale Funktion

Graph der Funktionen f, f ' und f ''

Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung

${f(x)}={\frac {x^{3}-4x^{2}+4x}{4x^{2}-8x+4}}$

Definitionsbereich

Die Funktion ist nur dort definiert, wo der Nenner ungleich 0 ist. Die Untersuchung des Nenners auf Nullstellen ergibt:

$4x^{2}-8x+4=0$

$x^{2}-2x+1=0$

$x=1+{\sqrt {1-1}}=1$ oder $x=1-{\sqrt {1-1}}=1$

Die Quadratische Gleichung hat eine doppelte Lösung bei $x=1$. Nur bei $x=1$ wird also der Nenner 0. Der Definitionsbereich ist folglich

$\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{1\}$.

Menge der reellen Zahlen, ausgenommen die 1. Der Nenner kann - in Linearfaktoren zerlegt - als

$4(x-1)(x-1)$ oder $4(x-1)^{2}$

geschrieben werden.

Nullstellen

Die Bedingung für Nullstellen ist $f(x_{N})=0\,$. Hierzu genügt es, dass der Zähler 0 wird, solange nicht zugleich der Nenner 0 wird. Untersuchung des Zählers auf Nullstellen ergibt:

$x^{3}-4x^{2}+4x=0$

$x(x^{2}-4x+4)=0$

$x=0$ oder $x=2+{\sqrt {4-4}}=2$ oder $x=2-{\sqrt {4-4}}=2$

Der Zähler hat eine einfache Nullstelle bei $x=0$ und eine doppelte bei $x=2$. Beide Stellen liegen im Definitionsbereich. $f(x)$ hat also die Nullstellen $x_{1}=0$ sowie $x_{2}=x_{3}=2$.

Der Zähler kann - in Linearfaktoren zerlegt - als

$x(x-2)(x-2)=x(x-2)^{2}$

geschrieben werden.

Im Rahmen der Schulmathematik wird häufig darauf Wert gelegt, dass bei jedem $x$ der Index $N$ für „Nullstelle“ dazugeschrieben wird: $x_{N}\,$.

Polstellen

An der Stelle $x=1$ hat der Nenner eine zweifache Nullstelle, ohne dass zugleich der Zähler 0 wird. Es liegt also eine Polstelle bei $x=1$ vor. Sollte der Zähler auch 0 werden, so muss für eine Polstelle die Ordnung der Nennernullstelle größer als die Ordnung der Zählernullstelle sein.

Sofern der Nenner einer gebrochenrationalen Funktion an einer Stelle x=a gleich 0 ist, ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. Ist der Nenner gleich 0, der Zähler aber ungleich 0, so besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Pol („Unendlichkeitsstelle“).

Symmetrie

Der Graph der Funktion wird an dieser Stelle auf Symmetrie untersucht. In der Regel erfolgt die Untersuchung zuerst auf Achsensymmetrie zur y-Achse und danach auf Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems.
Die Bedingung für Achsensymmetrie ist $f(x)=f(-x)$. Im Beispiel wird

${f(x)}={{x^{3}-4x^{2}+4x} \over {4x^{2}-8x+4}}$

$x$ ersetzt durch $-x$ und nach dem Ausmultiplizieren entsteht

${f(-x)}={{(-x)^{3}-4(-x)^{2}+4(-x)} \over {4(-x)^{2}-8(-x)+4}}={{-x^{3}-4x^{2}-4x} \over {4x^{2}+8x+4}}$.

Da $f(-x)$ ungleich $f(x)$ ist, ist der Graph von $f$ nicht achsensymmetrisch.
Dasselbe gilt für die Punktsymmetrie, nur hier lautet die Bedingung $-f(x)=f(-x)$.
Um die Rechnung weiter zu führen, wird $f(-x)$ verwendet und vor den Bruch ein Minus gesetzt. Anschließend wird entschieden, ob das Minus in den Zähler oder Nenner gezogen wird. In diesem Fall ist es egal, denn der Graph von $f$ ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

$\rightarrow$ Es ist keine Symmetrie erkennbar.

Allgemein:

• Ist eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, trifft f(x) = f(-x) zu. Speziell für Polynome: alle Exponenten sind gerade (Achtung: dazu zählt auch ${x^{0}}$)
• Ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, trifft f(x) = -f(-x) zu. Speziell für Polynome: alle Exponenten sind ungerade. Achtung: dazu zählt auch ${x^{1}}$, aber nicht ${x^{0}}$
• Ist eine Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, so trifft weder f(x) = f(-x) noch f(x) = -f(-x) zu. Speziell bei Polynomen kommen sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vor.

• Haben Zähler und Nenner einer gebrochen rationalen Funktion dieselbe Symmetrie, ist die Funktion achsensymmetrisch.
• Haben Zähler und Nenner einer gebrochen rationalen Funktion unterschiedliche Symmetrien, ist die Funktion punktsymmetrisch.

Anmerkung: Eine generelle Aussage, ob Symmetrie vorliegt oder nicht, ist nicht möglich, da lediglich auf Achsensymmetrie zur y-Achse und auf Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht wurde und somit eine Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse oder eine Punksymmetrie zu einen beliebigen Punkt nicht ausgeschlossen werden kann.

Ableitungen

Zu bilden sind die Ableitungen von

${f(x)}={{x(x-2)^{2}} \over {4(x-1)^{2}}}$

Die Darstellung in Linearfaktoren ist zweckmäßiger, da sie das Ausklammern und Kürzen vereinfacht. Dies ergibt zunächst

${\begin{aligned}{f'(x)}&={{(2x(x-2)4(x-1)^{2}-x(x-2)^{2}\cdot 8(x-1)} \over {16(x-1)^{4}}}\\&={{(2x(x-2)(x-1)-2x(x-2)^{2}} \over {4(x-1)^{3}}}\\&={{(2x^{2}-4x)(x-1)-2x(x-2)^{2}} \over {4(x-1)^{3}}}\\&={{(2x^{3}-2x^{2}-4x^{2}+4x)-2x(x-2)^{2}} \over {4(x-1)^{3}}}\\&={{(2x^{3}-2x^{2}-4x^{2}+4x)-(2x(x^{2}-4x+4))} \over {4(x-1)^{3}}}\\&={{(2x^{3}-2x^{2}-4x^{2}+4x)-(4x^{3}-8x^{2}+8x)} \over {4(x-1)^{3}}}\\&={{(-2x^{3}+2x^{2}-4x)} \over {4(x-1)^{3}}}\\\end{aligned}}$

für die erste Ableitung. Dann wird die zweite

${\begin{aligned}{f''(x)}&={{((x-2)(2x-1)+(x^{2}-x+2))(x-1)^{3}-(x-2)(x^{2}-x+2)\cdot 3(x-1)^{2}} \over {4(x-1)^{6}}}\\&={{((x-2)(2x-1)+(x^{2}-x+2))(x-1)-3(x-2)(x^{2}-x+2)} \over {4(x-1)^{4}}}\\&={{2x^{3}-x^{2}-4x^{2}+2x-2x^{2}+x+4x-2+x^{3}-x^{2}-x^{2}+x+2x-2-3x^{3}+3x^{2}-6x+6x^{2}-6x+12} \over {(x-1)^{4}}}\\&={{-2x+8} \over {4(x-1)^{4}}}\\&=-{{x-4} \over {2(x-1)^{4}}}\end{aligned}}$

und die dritte Ableitung

${\begin{aligned}{f'''(x)}&={-{(x-1)^{4}-(4-x)4(x-1)^{3}} \over {2(x-1)^{8}}}\\&={-{(x-1)-4(4-x)} \over {2(x-1)^{5}}}\\&={-{x+1+4x-16} \over {2(x-1)^{5}}}\\&={{3x-15} \over {2(x-1)^{5}}}\end{aligned}}$

gebildet.

Extrempunkte

Hierfür muss $f'(x)=0\,$ werden. Es genügt, die Nullstellen des Zählers zu untersuchen:

${(x-2)(x^{2}-x+2)}=0\,$

hat die Lösung $x=2$. Die zweite Klammer hat keine reellen Lösungen. $x=2$ liegt im Definitionsbereich. Der Funktionswert an dieser Stelle ist $f(2)=0\,$, da hier eine Nullstelle vorliegt. Die zweite Ableitung ist an dieser Stelle $f''(2)=1>0\,$, es handelt sich also um einen Tiefpunkt bei (2/ 0).

Wendepunkte

Der Wendepunkt wird ermittelt, indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird. Das Ergebnis daraus wird in die dritte Ableitung für x eingesetzt. Das Ergebnis hiervon muss ungleich 0 sein, sonst ist möglicherweise kein Wendepunkt vorhanden. Anschließend wird das Ergebnis aus der zweiten Ableitung in die Grundfunktion für x eingesetzt. So werden die genauen Koordinaten des Wendepunktes ermittelt.

Asymptoten

An der Polstelle, also bei $x=1$, liegt eine senkrechte Asymptote. Da der Grad des Zählers (3) um 1 größer ist als der des Nenners (2), wird $f(x)$ gegen $\infty$ gehen für $x$ gegen $\infty$. Die Differenz 3-2 = 1 gibt an, dass sich der Graph an eine lineare Funktion (Gerade) asymptotisch annähern wird. Die Geradengleichung folgt durch Polynomdivision:

$(x^{3}-4x^{2}+4x):(4x^{2}-8x+4)={{1 \over 4}x-{1 \over 2}+{{-1x+2} \over {4x^{2}-8x+4}}}$

Für $x$ gegen $\infty$ geht der letzte Term gegen 0. Die Gleichung der Asymptote ist also

${a(x)}={{1 \over 4}x-{1 \over 2}}$

Allgemein:

• Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, ist die Asymptote die x-Achse.
• Ist der Nennergrad gleich dem Zählergrad, ist die Asymptote eine Parallele zur x-Achse.
• Ist der Nennergrad um 1 kleiner als der Zählergrad, ist die Asymptote schräg.
• Ist der Nennergrad um mehr als 1 kleiner als der Zählergrad, ist die Asymptote keine Gerade, sondern kurvig.

Didaktische Fragen

In der Mathematikdidaktik wird seit spätestens den 1990er Jahren diskutiert, inwieweit die Kurvendiskussion durch die Verfügbarkeit von grafikfähigen Taschenrechnern und dedizierter Software (Funktionenplotter) überholt ist.

Kritisiert wird, dass die Kurvendiskussion eine rein rechnerische Routine ist, die wenig Verständnis vermittelt. Andererseits ist sie gerade deshalb als relativ sicher vorzubereitendes Prüfungsthema bei schwächeren Schülern und Studenten vergleichsweise beliebt.

In den zentralen Abiturprüfungen hat es sich deshalb durchgesetzt, dass solch schematische Aufgaben nur sehr selten gestellt werden. Beliebter sind eingekleidete Aufgaben oder Aufgaben, in denen Zusammenhangswissen abgefragt wird, zum Beispiel über Zusammenhänge zwischen Ableitungsfunktion und Ausgangsfunktion.

Weblinks

• Kurvendiskussion beliebiger Funktionen mit Java-Applet
• Kompakte Beschreibung der Kurvendiskussion
• Verständlicher Text zur Kurvendiskussion
• Freeware-Tool zur Kurvendiskussion an Polynomen (Aufgaben, Lösungen und Lösungssuche)
• Exemplarische Kurvendiskussionen
• Ein Java Script für ganzrationale Funktionen
• Online-Tool zur Kurvendiskussion (benötigt kein Java o.ä.)