Diskussion:Pfaffsche Form

Habe i.w. die allgemeine Definition von Differentialform kopiert und den Abschnitt "totales Differential" nach oben verschoben, weil er dort benötigt wird.-- Gunther 23:43, 14. Apr 2005 (CEST)

Ich habe Deine Änderungen rückgängig gemacht. Wir hatten ausgemacht, dass Du eine allgemeine Definition der Pfaffschen Form einführst und ein Beispiel diskutierst. Statt dessen hast du einfach ganze Abschnitte des vorhandenen Artikel ausgetauscht. --Kilian Klaiber 01:03, 15. Apr 2005 (CEST)

• Für die allgemeine Definition brauche ich den Kontext wie in Differentialform.
• In Deiner Fassung benutzt Du die Begriffe Kotangentialvektor, Tangentialraum jeweils vor ihrer Definition.
• Die Definition des Tangentialraums gehört nicht hierher, die würde für die unterschiedlichen Fälle auch zu weit führen.
• Du sprichst erst von einer Koordinatendarstellung, um dann später zu erklären, was die $dx_{i}$ sind. Du führst die $dx_{i}$ als reine Symbole ein, der Bezug zur äußeren Ableitung fehlt vollständig; er wird zusätzlich durch die unterschiedliche Notation ($DF$ bzw. $dx_{i}$) und die Anordnung der Abschnitte verschleiert.
• Die Definition der totalen Ableitung ist nicht verallgemeinerbar; der Bezug zum Gradienten kann nur als Bemerkung für den riemannschen Fall hergestellt werden.
• Wenn man Koordinaten hat, nimmt man nicht irgendeine Basis $\{e_{i}\}$ des Tangentialraums, sondern die Basis $\{\partial /\partial x_{i}\}$.
• Die Schreibweise $\langle \omega ,X\rangle$ birgt die Gefahr der Verwechslung mit einem Skalarprodukt, und es gibt keine einheitliche Konvention bezüglich der Reihenfolge. Die Schreibweise $\omega (p)(X)$ wäre verwirrend, deshalb $\omega _{p}$.
• Kleinigkeiten: Differentialformen heißen $\omega$, nicht $w$; Vektorpfeile sind im Zusammenhang von Mannigfaltigkeiten nicht üblich; TeX-Hinweise: das Elementsymbol heißt \in, und \left-\right ist nur sinnvoll, wenn man wirklich große Klammern will; Formeln an Gleichzeichen zu unterbrechen bringt die Vertikalausrichtung durcheinander.

Das waren die Gründe für meine Änderungen.-- Gunther 01:29, 15. Apr 2005 (CEST)

Die Definition der Tangentialräume und Kotangentialräume erfolgt unmittelbar nachdem sie eingeführt werden. Die Koordinatendarstellung gehört nicht zur Definition des Differentialform. Ich füge gerne den Bezug zur äußeren Ableitung ein. Ableitungsoperatoren sind keine Basis des Tangentialraums. An die in diesem Artikel gebrauchte Schreibweise solltest du dich anpassen, sonst wird das chaotisch. Füge bitte unter einem weiteren Gliederungspunkt eine verallgemeinerte Definition ein und diskutiere ein Beispiel, das bisher noch nicht erfasst wird.

• Definitionsreihenfolge: ist trotzdem verwirrend und unüblich
• Koordinatendarstellung: Welchen Sinn hat eine Definition, auf die dann der weitere Artikel nicht mehr anwendbar ist?
• Ableitungsoperatoren sind die Standardbasis des Tangentialraums, siehe z.B. en:metric tensor oder en:curvature of Riemannian manifolds
• Du solltest Dich an die allgemein übliche Schreibweise anpassen

-- Gunther 09:26, 15. Apr 2005 (CEST)

Die Menge aller Tangentenvektoren stetig differenzierbarer Kurven am Punkt p bilden den Tangentialvektorraum am Punkt p. Ein Ableitungsoperator d/dx ist kein Tangentenvektor und somit kein Element des Tangentialraums geschweige denn eine Basis. Ich benutze die übliche Schreibweise. Lass das mal so wie es ist. --84.151.172.40 09:49, 15. Apr 2005 (CEST)

Hast Du jemals einen Blick in ein Differentialgeometriebuch geworfen, also nicht ein Analysisbuch, das so tut, als würde es Mannigfaltigkeiten behandeln? Und dass en:metric tensor $\partial /\partial x_{i}\,$ ohne Erklärung als Standardnotation verwendet, stört Dich auch nicht?-- Gunther 10:11, 15. Apr 2005 (CEST)

Wieso sollte mich das stören? --Kilian Klaiber 10:18, 15. Apr 2005 (CEST)

Weil Du oben versucht hattest zu behaupten, die $\partial /\partial x_{i}$ seien gar keine Tangentialvektoren. Deiner Gegenfrage entnehme ich, dass die Antwort auf die erste meiner beiden Fragen "nein" ist, und dann solltest Du mir zumindest ein wenig Glauben schenken.-- Gunther 10:27, 15. Apr 2005 (CEST)

$\partial /\partial x_{i}$ sind keine Tangentialvektoren, sorry Gunther. Ein Tangentialvektor ist die Steigung einer Kurve an einem Punkt. Ein Differentialoperator ist keine Steigung. --Kilian Klaiber 10:31, 15. Apr 2005 (CEST)

Doch. ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ ist die übliche Schreibweise einer aus einem Koordinatensystem abgeleiteten Basis des Tangentialraumes. Jedem Tangentialvektor ist auf eineindeutige Weise, die deshalb nicht erwähnt wird, ein Ableitungsoperator zugeordnet. Ist $v={\dot {\gamma }}(0)$ in $p=\gamma (0)$, so ist der Ableitungsoperator zu v die Abbildung $f\mapsto [{\frac {d}{dt}}f\circ \gamma ](0)$. Dass diese nur von v, aber nicht vom Weg abhängt, ist die Voraussetzung, überhaupt von Tangentialvektoren reden zu können.LutzL 10:47, 15. Apr 2005 (CEST)

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Was soll der ganze Unfug? Pfaffsche Formen sind 1-Formen, es gibt keinen Unterschied. Sie werden heutzutage als solche nur noch im Zusammenhang mit geometrischen Distributionen, d.h. Pfaffschen Systemen, verwendet. Diese definieren, wenn gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, eine Untermannigfaltigkeit, deren Eigenschaften, wie Schnitte mit anderen Untermannigfaltigkeiten, mit ihrer Hilfe charakterisiert werden können. Hilberts 16. oder 17. Problem hat damit zu tun. Davon lese ich hier aber garnichts, sondern Abschnitte zu Wegintegralen, die unter diesem Begriff besser aufgehoben wären und den Begriff des Riemann-Stieltjes-Integrals voraussetzen, auf welchen auch nicht verwiesen wird. Oder ich finde Abschnitte zu ersten Integralen physikalischer Systeme, welche zur klassischen oder Hamilton-Mechanik gehören. Dabei wird der Begriff des Gradienten in einer Weise verwendet, dass es einem graust. Dafür wird über exakte Differentialgleichungen exakt nichts gesagt, obwohl dies Pfaffsche Systeme mit einer Gleichung sind.--LutzL 10:47, 15. Apr 2005 (CEST)