Polynomdivision

Die Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, ist ein mathematisches Verfahren zur Lösung der Gleichung

$p(x)=s(x)q(x)+r(x)\!$

bei gegebenen Polynomen p und q über einem Polynomring, also der Bestimmung der Polynome s und r. Die Situation ist analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen.

Angenommen, es liege eine Gleichung vor, deren linke Seite ein Polynom und deren rechte Seite Null ist:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots {}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0.$

Sie kann nach dem Wurzelsatz von Vietá als Produkt von Linearfaktoren gedacht werden:

$P(x)=a_{n}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\dots {}(x-x_{2})(x-x_{1})=0$

Anwendungen

• Eine Anwendung ist das Lösen von Gleichungen höheren Grades. Wenn eine Lösung x_n z.B. durch Intervallschachtelung gefunden wurde, findet die Polynomdivision Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken.

• Eine weitere Anwendung findet die Polynomdivision bei der Bestimmung der Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion (siehe Kurvendiskussion).

• Bei der Berechnung von Prüfsummen, findet die Polynomdivision über dem Ring der ganzen Zahlen modulo 2 Anwendung. Siehe CRC Polynom.

Durchführung

Das Verfahren funktioniert genau so wie die schriftliche Division ganzer Zahlen und kann mit dem gleichen Schema gelöst werden. Hier sind die einzelnen Schritte erläutert:

• Zu lösen sei die Aufgabe

$p:q=(4x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1):(x^{2}+1)$

• Wie bei der Division ganzer Zahlen kümmern wir uns zuerst nur darum, den höchsten Anteil des Polynoms zu eliminieren. Dazu müssten wir q mit $4x^{3}$ multiplizieren, denn die höchste Potenz von q ist $x^{2}$ und es gilt $4x^{5}=x^{2}\cdot 4x^{3}$.

${\begin{matrix}(4x^{5}&-x^{4}&+2x^{3}&+x^{2}&-1)&:&(x^{2}&+1)&=&4x^{3}\dots \\&&-4x^{3}&&&&&&&\\&-x^{4}&-2x^{3}&&&&&&&\end{matrix}}$

• Man eliminiert jetzt immer weiter die jeweils höchste Potenz, bis man einen Rest erhält, der nicht mehr weiter eliminiert werden kann, weil der Grad vom Rest kleiner als der Grad von q ist.

${\begin{matrix}(4x^{5}&-x^{4}&+2x^{3}&+x^{2}&-1)&:&(x^{2}&+1)&=&4x^{3}-x^{2}-2x+2+{\frac {2x-3}{x^{2}+1}}\\{\underline {-4x^{5}}}&&{\underline {-4x^{3}}}&&&&&&&\\&-x^{4}&-2x^{3}&&&&&&&\\&{\underline {+x^{4}}}&&{\underline {+x^{2}}}&&&&&&\\&&-2x^{3}&+2x^{2}&&&&&&\\&&{\underline {+2x^{3}}}&&{\underline {+2x}}&&&&&\\&&&2x^{2}&+2x&-1&&&&\\&&&{\underline {-2x^{2}}}&&{\underline {-2}}&&&\\&&&&2x&-3&&&&\end{matrix}}$

Anwendungsbeispiel

Angenommen, die Gleichung

x³ + 5x² + 2x - 8 = 0

ist zu lösen und durch Probieren haben wir eine erste Lösung x=1 gefunden. Wir bilden das Binom (x-1) und schreiben: (x³ + 5x² + 2x - 8) ÷ (x - 1) =

Da x³ : x = x² ergibt, entsteht hinter dem Gleichheitszeichen nur noch das quadratische Glied 1x². Damit wird wie beim Schriftlichen Teilen die Klammer (x-1) multipliziert und das entstehende Zwischenergebnis x³-x² von der Ursprungsaufgabe abgezogen. Mit dem Rest wird genauso verfahren:

 (x³ +5x² +2x -8)÷(x-1)= x² +6x +8
-(x³ - x²)
 ----------
 0x³ +6x² +2x -8
-    (6x² -6x)
     ----------
           8x -8
-         (8x -8)
          -------
               0

Die Division ging glatt auf (das muss sie, wenn wir eine Nullstelle herausteilen). Für die anderen beiden Lösungen ist jetzt nur noch die Quadratische Gleichung

x² +6x +8 = 0

z.B. durch Quadratische Ergänzung zu lösen.

Ein mögliches Verständnisproblem beim "Herausdividieren einer Nullstelle" besteht darin, dass man vermeintlich durch 0 dividiert. Dies ist jedoch nicht der Fall, da man nicht Zahlen dividiert, sondern Polynome. Da das Polynom x-1 nicht das Nullpolynom ist, kann man (mit Rest) durch dieses Polynom dividieren.

siehe auch: Partialbruchzerlegung

Link

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm Arndt Brünners Seite für Polynomdivision

http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/sfs0001.htm Polynomdivision Schritt für Schritt