Taylor-Formel

In der Analysis verwendet man die Taylor-Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome anzunähern. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor.

Ist I ein reelles Intervall und f: I -> R eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle a und x aus I:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n+1}(x)$

mit dem so genannten n-ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a

$T_{n}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

In der Formel stehen

$f',f'',\dots ,f^{(n)}$

für die erste, zweite, ... n-te Ableitung der Funktion f.

und dem so genannten (n+1)-ten Restglied

$R_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-a)^{n}f^{(n+1)}(t)dt$.

Der Beweis dieser Formel für das Restglied erfolgt durch Induktion, der Induktionsanfang n = 0 entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)dt$

Der Induktionsschritt erfolgt durch partielle Integration.

Restgliedformeln

Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes. Eine ist die Lagrangesche Form des Restgliedes:

$R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

für ein ξ zwischen a und x.

Sie ist der Spezialfall p = n+1 der Schlömilchschen Restgliedform für die natürliche Zahl p mit 1 <= p <= n+1:

$R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{p\cdot n!}}(x-\xi )^{n+1-p}(x-a)^{p}$

für ein ξ zwischen a und x.

Das Restglied hat die Eigenschaft, für x gegen a schnell gegen 0 zu konvergieren, genauer gilt:

$\lim _{x\to a}{\frac {R_{n+1}(x)}{(x-a)^{n}}}=0$

Das bedeutet, je näher x bei a liegt, desto besser stimmt das Taylorpolynom T_n an der Stelle x mit der Funktion f überein.

Näherungsformeln für Sinus und Kosinus

Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt für Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).

Das dritte Taylorpolynom T_3,sin der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat diese Gestalt:

$\sin(x)\approx T_{3,\sin }(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}$

Liegt x zwischen -π/4 und π/4, dann liegt die relative Abweichung |(T_3,sin(x)-sin(x))/sin(x)| bei unter 0,5%.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome T_n des Sinus für n=1, 3, 5, 15. Der Graph zu n = ∞ gehört zur Taylorreihe, die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Das vierte Taylorpolynom T_4,cos der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im Horner-Schema diese Gestalt:

$\cos(x)\approx T_{4,\cos }(x)=\left({\frac {x^{2}}{12}}-1\right)\cdot {\frac {x^{2}}{2}}+1$

Liegt x zwischen -π/4 und π/4, dann liegt die relative Abweichung |(T_4,cos(x)-cos(x))/cos(x)| bei unter 0,05%.

Will man mit diesen Näherungsformeln den Sinus oder Kosinus von anderen x-Werten berechnen, sollte man die Reduktionsformeln benutzen, um |x| kleiner als π/4 zu machen.

Auch für Tangens und Kotangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist

tan(x) ~ t(x) = T_3,sin(x) / T_4,cos(x)

mit einer relativen Abweichung von unter 0,5% für |x| < π/4, und cot(x) ~ 1/t(x) mit derselben relativen Abweichung. (Dabei ist t kein Taylorpolynom des Tangens.)

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren. Warum das so ist, wird im Artikel Taylorreihe erläutert.