Elektrischer Widerstand

In diesem Artikel wird der Widerstand als physikalische Eigenschaft betrachtet. Zum Widerstand als Bezeichnung für ein elektronisches Bauelement, siehe: Widerstand (Bauelement).

Schaltzeichen für elektrischen Widerstand
Schaltzeichen

Der elektrische Widerstand (Formelzeichen: R) ist ein Begriff aus der Elektrotechnik. Er bezeichnet die Behinderung des Flusses von Ladungsträgern im Inneren eines Leiters durch Kollisionen mit Atomen. Besteht eine elektrische Spannung zwischen zwei Punkten, so fließt ein elektrischer Strom. Wie groß dieser Strom ist wird durch den elektrischen Widerstand bestimmt. Für Isolatoren ist der Wert groß und wird oft näherungsweise als unendlich groß angenommen. Für elektrische Leiter, z. B. für Metalle, ist er entsprechend klein und kann manchmal sogar vernachlässigt werden. Dies gilt insbesondere für Supraleiter. Wird der genaue Wert des Widerstandes benötigt, so kann man bei den meisten Leitern diesen nach dem ohmschen Gesetz bestimmen, das nach Georg Simon Ohm benannt wurde. Der ohmsche Widerstand ist als der Quotient aus der Spannung U und dem Strom I definiert. D. h. bei doppelt so hoher angelegter Spannung fließt auch der doppelte Strom. Dieses einfache Gesetz gilt nicht mehr für z. B. Halbleiter. Bei Wechselspannung spielt zusätzlich der kapazitive bzw. der induktive Widerstand eine Rolle. Das Formelzeichen R kommt von dem englischen Wort "Resistance". Der Widerstand hat im SI-System die Einheit Ohm, welche mit einem großen griechischen Omega $\Omega$ angegeben wird.

Ohmscher Widerstand

Gleichstromwiderstand

Für gängige elektrische Leiter gilt das ohmsche Gesetz. Es gibt an, wie viel Spannung U bei einem angegebenen Strom I über dem Widerstand R abfällt:

R={\frac {U}{I}}\,

Dieser Widerstand wird auch als Gleichstromwiderstand bezeichnet. Der ohmscher Widerstand eines Materials berechnet sich aus den Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand ρ:

R=\rho \cdot {l \over A}

Für runde Drahtdurchmesser d ergibt sich folgender Querschnitt $A=\pi \cdot {\frac {d^{2}}{4}}$ und der Querschnitt A eines runden Drahts ergibt folgenden Durchmesser $d=2\cdot {\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$ .

Datei:Widerstand Formel.PNG

Der spezifische Widerstand ist allerdings von der Temperatur abhängig, hierzu siehe weiter unten.

Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, daß sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können.

In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen Schalen bestehen.

Legt man eine Spannung an die Drahtenden an, so werden die freien Elektronen im elektrischen Feld beschleunigt. Die Energie der Elektronen nimmt zu und damit die Temperatur des Elektronengases.

Auf ihrem Weg durch das Metall geben die Elektronen einen Teil durch elastische Stösse an die Atomrümpfe ab. Durch diese Wechselwirkung ist das System Metallgitter - Elektronengas bemüht, den Temperaturgradienten, der durch die angelegte Spannung entstand, wieder abzubauen.

Beim Erwärmen des Metalls verstärkt sich die thermische Schwingung der Atomrümpfe um ihre Gleichgewichtslage. Dadurch erhöht sich aber auch die Wechselwirkung mit dem Elektronengas und der Widerstand steigt. Allerdings erklärt dies nicht den Effekt des Heißleiters, der sich entgegengesetzt verhält.

Das ohmsche Gesetz

{\frac {U}{I}}\ =const

Das Ohmsche Gesetz gilt nur bei linearen Widerständen.

Wechselstromwiderstand oder Scheinwiderstand

Bei Wechselstrom ist der Widerstand im Allgemeinen frequenzabhängig und wird als Scheinwiderstand bezeichnet. Der Scheinwiderstand setzt sich zusammen aus dem frequenzunabhängigen Wirkwiderstand und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand, der durch Kapazitäten bzw. Induktivitäten gebildet wird.

Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}

Blindwiderstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand sind Blindwiderstände. Sie bewirken eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Entsprechende (ideale) Bauelemente wandeln keine Energie in Wärme um. In der Praxis haben die Bauelemente aber immer einen ohmschen Anteil.

Der induktive Widerstand einer idealen Spule ist bei Gleichspannung Null und wird mit wachsender Frequenz f bei Wechselspannung größer:

X_{L}=2\cdot \pi \cdot f\cdot L

Der kapazitive Widerstand eines idealen Kondensators ist bei Gleichspannung unendlich und sinkt mit wachsender Frequenz f bei Wechselspannung:

X_{C}={1 \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}

Wenn die Maße eines Bauteils in den Bereich der Wellenlänge kommen, besitzt es sowohl einen nicht zu vernachlässigenden induktiven als auch einen kapazitiven Anteil und wird gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt.

Schwingkreis

Die Parallel- beziehungsweise Reihenschaltung von Kapazität und Induktivität bezeichnet man als Schwingkreis. Ein Schwingkreis hat einen frequenzabhängigen elektrischen Widerstand. Die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes im Schwingkreis, der nur in der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz extremal (minimal beziehungsweise maximal) wird. Dieser Effekt wird unter anderem angewendet, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern.
Vergleiche: Der Tiefpass lässt nur tiefe Frequenzen passieren und der Hochpass lässt nur hohe Frequenzen passieren.
In der Elektro-Akustik wird die entsprechende Filterwirkung eines Tiefpass-Filters (das ja die hohen Frequenzen abschneidet und entfernt) oft beschrieben mit: Höhensperre, Höhenfilter, High Cut, Treble Cut und Rauschfilter und die Filterwirkung eines Hochpass-Filters (das ja die tiefen Frequenzen entfernt) wird bezeichnet mit: Tiefensperre, Bassfilter, Low Cut, Bass Cut, Trittschallfilter und Rumpelfilter.

Beim realen Schwingkreis treten Kondensatorverluste und Spulenverluste durch deren ohmschen Widerstand auf. Den ohmschen Widerstand des Kondensators kann man aber meist vernachlässigen.

Für den Resonanzwiderstand im Parallelschwingkreis ergibt sich:

R_{p}={\frac {L}{R_{L}C}}\,.

Dieser wird bei der Resonanzfrequenz erreicht, die folgendermaßen berechnet werden kann:

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\,.

(Thomson'sche Schwingungsgleichung)

Temperaturabhängigkeit

**Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient**
Material	ρ in Ωm	α in 1/K
Silber	1,6 · 10^-8	3,8 · 10^-3
Kupfer	1,7 · 10^-8	3,9 · 10^-3
Silizium	640	-7,5 · 10^-2

Der Widerstandswert wird vom Material, also dem spezifischer Widerstand mit dem Formelzeichen ρ (rho), der Länge l, dem Querschnitt (Querschnittsfläche A) und der Temperatur T bestimmt. Die Formel:

R_{20}=\rho \cdot {\frac {l}{A}}

gilt bei 20 °C.

Wenn eine Spannung anliegt und somit ein Strom fließt, wird am (Wirk-)Widerstand Arbeit (P = U · I) geleistet, welche sich als Wärme bemerkbar macht. Diese joulesche Wärme hat Einfluss auf den Widerstandswert (R_W).

So steigt beim Kaltleiter der ohmsche Widerstandswert, bei Heißleitern sinkt er.

Auch dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem Temperaturkoeffizienten α und Bestimmung des Temperaturunterschieds ( $\Delta T$ ) berechenbar.

R_{W}=R_{20}(1+\alpha \cdot \Delta T)

In der Technik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes auszgenutzt, z.B. beim Thermomaten.

Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Werden n Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

{R_{\rm {ges}}=R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}}

Veranschaulichen kann man sich dies an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Datei:Widerstand R1 plus R2.PNG

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l₁ + l₂. Dann gilt:

R=\rho \cdot {{l_{1}+l_{2}} \over A}=\rho \cdot {l_{1} \over A}+\rho \cdot {l_{2} \over A}=R_{1}+R_{2}

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte bzw. die reziproken Widerstände:

{1 \over R_{\rm {ges}}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\dots +{1 \over R_{n}}

alternative Schreibweise:

R_{\rm {ges}}=R_{1}||R_{2}||\dots ||R_{n}

Schreibweise als Leitwerte:

G_{\rm {ges}}=G_{1}+G_{2}+\dots ||G_{n}

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine Einheit ist das Siemens.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur im Querschnitt, d.h. in der Querschnittsfläche A unterscheiden.

Datei:Widerstand R1 R2 parallel.PNG

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt A₁ + A₂, also gilt:

R=\rho \cdot {l \over {A_{1}+A_{2}}}

und daher

{1 \over R}={{A_{1}+A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={{A_{1}} \over {\rho \cdot l}}+{{A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}

Physikalische Zusammenhänge

Der Widerstand folgt dem ohmschen Gesetz. Es besteht ein Zusammenhang zwischen Spannung U, Stromstärke I und der Elektrischen Leistung P beziehungsweise der Elektrischen Arbeit W.

U=R\cdot I

P={U\cdot I}={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}\cdot R

W={P\cdot t}={{\frac {U^{2}}{R}}\cdot t}=I^{2}\cdot R\cdot t

Sonstige elektrische Widerstände

Nichtlinearer Widerstand

Bei nicht linearen Strom-Spannungs Kennlinien - wie zum Beispiel bei Dioden - kann für jedes Strom-Spannungspaar ebenfalls ein Quotient gebildet werden. Der Quotient aus Spannungsänderung und Stromänderung (entspricht dem Anstieg der Kennlinie) bei einer bestimmten Spannung wird auch als differentieller Widerstand bezeichnet. Er hat nichts mit dem PTC oder NTC-Verhalten von Bauelementen gemeinsam.

R={\frac {\mathrm {d} \,U}{\mathrm {d} I}}

Negativer differentieller Widerstand

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie sogar negativ werden, so dass die Spannung bei steigender Stromstärke sinkt bzw. die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Entdämpfen von Schwingkreisen verwendet werden. Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Avalanchedioden oder Tunneldioden auf.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt der Strom mit zunehmender Spannung zu. (z.B. Z-Diode)

Beispiel: alle halbleitenden Keramiken

Supraleitung

Unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur besitzt ein supraleitungsfähiges Material den ohmschen Widerstand von Null Ohm. Deshalb wird ein solches Material als Supraleiter bezeichnet, da der Strom in diesem Material bei dieses tiefen Temperatur ohne jegliche Verluste fließt.

Siehe auch: Widerstand (Bauelement), Liste elektronischer Bauteile, elektrischer Leitwert, Impedanz, Supraleiter, Vorwiderstand, Dämpfungsfaktor, Eingangswiderstand, Ausgangswiderstand, Van-der-Pauw, Kondo-Effekt

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