Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass das Verhältnis zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Das i-te Glied $a_{i}$ einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}$ und dem Quotient q berechnet sich aus

a_{i}=a_{0}\cdot q^{i}

beziehungsweise aus

a_{0}=a_{0},\ a_{1}=a_{0}\;q,\ a_{2}=a_{0}\;q^{2},\ a_{3}=a_{0}\;q^{3},\ \dots

Den Namen erhielt die Folge, weil jedes Glied mit i>0 das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder ist. Die Summation der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Zahlenbeispiele

Beispiel 1

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=5$ und dem Quotient q=3 sind

a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dots

Beispiel 2

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=1$ und dem Quotient $q=-{\frac {1}{2}}$ sind

a_{0}=1,\ a_{1}=-{\frac {1}{2}},\ a_{2}={\frac {1}{4}},\ a_{3}=-{\frac {1}{8}},\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

+1,\ -{\frac {1}{2}},\ +{\frac {1}{4}},\ -{\frac {1}{8}},\ +{\frac {1}{16}},\ -{\frac {1}{32}},\ +{\frac {1}{64}},\ -{\frac {1}{128}},\ +{\frac {1}{256}},\ \dots

Anwendungsbeispiel

Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis 1,05. Bei einem Startkaptial von 1000 Euro ergibt sich