Geometrie
Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit Punkten und Geraden als Grundobjekten.
Es gibt nicht eine einzige Geometrie, sondern viele als Geometrie bezeichnete Systeme in der Mathematik, die jeweils ihre eigenen Axiome besitzen.
Die der Anschauung zugänglichste euklidische Geometrie macht Aussagen über Kreise, Dreiecke, die Platonische Körper, etc.
Geometrien:
Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen der Mathematik:
- Differentialgeometrie
- Vektor- und Tensorrechnung
- Analytische Geometrie
- Stochastische Geometrie
- Fraktale Geometrie
- Algebraische Geometrie
- Topologie
- Algorithmische Geometrie
- Planimetrie
- Trigonometrie
- Abbildungsgeometrie
Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie
- Zirkel und Lineal
- Geodreieck
- Computer
- Spiegeln, Verschieben, Drehen
- Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, ...
- Geometrie im Koordinatensystem mit Angabe der Kurvengleichung
- Kegelschnitte als Konstruktionsobjekte
Geometriesoftware
Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619)
Geschichte der Geometrie
In den frühen Hochkulturen gaben
- Landvermessung,
- astronomische Beobachtungen und
- der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken
erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen.
Es mußten
- Winkel gemessen und konstruiert,
- Flächen- und Rauminhalte berechnet
werden.
Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse. Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie zum Beweis algebraischer und zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. "Die Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.
Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreickslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam.
In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.
- Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie und
- im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
- Das 19. Jh. bringt wieder eine stärkere Hinwendung zur klassischen Geometrie. Das euklidische Parallelenpostulat wird durch Angabe nichteuklidischer Geometrien abgeändert. Es werden die Klassische Probleme Der Antiken Mathematik (Quadratur des Kreises, Würfelverdopplung, Dreiteilung des Winkels) mit algebraischen Methoden gelöst.
In der Topologie, der Graphentheorie und der algebraischen Geometrie werden Methoden der Geometrie mit anderen Zweigen der Mathematik verknüpft.
Im 20. Jh. wird die Geometrie durch moderne Axiomensysteme neue begründet.
Die Darstellende Geometrie ist in Gestalt der Computersimulation zu einem wichtigen Hilfsmittel in vielen Bereichen unseres Lebens geworden.
Literatur
- Euklid. Die Elemente.
- H. M. S. Coxeter. Introduction to Geometry.