Wurzel (Mathematik)

Wurzelfunktionen

In der Mathematik ist die Wurzelfunktion, neben dem Logarithmus, eine von zwei Umkehrfunktionen des Potenzierens.
Beispiel:

$x^{3}=8\Leftrightarrow x={\sqrt[{3}]{8}}$ (sprich:"Dritte Wurzel aus 8")

Der Term unter dem Wurzelzeichen wird als Radikand bezeichnet.

Wurzeln werden durch das Symbol: "√" notiert, wobei der Wurzelexponent, der in der Regel links oben angeschrieben wird, wegfallen kann, falls er den Wert 2 hat:

${\sqrt[{2}]{x}}=:{\sqrt {x}}$

In diesem Falle handelt es sich um eine Quadratwurzel. Oftmals wird die Quadratwurzel einfach die Wurzel genannt. Des weiteren bezeichnet man Wurzeln mit Wurzelexponent 3 speziell als Kubikwurzeln.

Bei geraden Wurzelexponenten gilt: Eine Lösung ist nur für positive Radikanden definiert. Der Index muss aus den reellen Zahlen stammen (meist ist aber n aus den natürlichen Zahlen interessant). Das Ergebnis ist eine positive Zahl. Um Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können, muss man in die Menge der komplexen Zahlen ausweichen. Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt: Eine Lösung ist für alle reellen Zahlen definiert. Ist der Radikand positiv, so ist das Ergebnis positiv. Ist der Radikand negativ, so ist das Ergebnis auch negativ.

Die Wurzel ist selbst eine Potenzfunktion, es gilt ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}$, daraus folgt ${\sqrt[{n}]{x^{n}}}=x$. Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich somit aus jenen für Potenzen.

Das Wurzelziehen heißt auch Radizieren (von lateinisch radix, die Wurzel). Es wurde vom deutschen Mathematiker Adam Ries eingeführt.

Näherungsverfahren

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören u.a. das Intervallhalbierungsverfahren.

Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von ${\sqrt[{n}]{x}}$ ergibt sich, indem man mit dem Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion

$y\mapsto y^{n}-x,\quad n\geq 1$ annähert:

1. Wähle einen (möglichst guten) Startwert $y>0$
2. Iteriere nach der Vorschrift

$y\mapsto {\frac {(n-1)y^{n}+x}{n\cdot y^{n-1}}}$

Für $n=2$ erhält man gerade das Heronverfahren.

Beispiel für eine Näherung für ${\sqrt[{3}]{2}}$ nach dem obigen Iterationsverfahren:

Die Iterationsvorschrift lautet mit $x=2$ und $n=3$

$y\mapsto {\frac {2\,y^{3}+2}{3\,y^{2}}}$.

Mit dem Startwert $y=2$ erhält man:

Startwert:	2.000000000000
Schritt 1:	1.500000000000
Schritt 2:	1.296296296296
Schritt 3:	1.260932224741
Schritt 4:	1.259921860565
Schritt 5:	1.259921049895
Schritt 6:	1.259921049894

Rechenregeln zur Berechnung am Computer

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen x erhält man so:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=\exp(\ln(x)/n)$

Imaginäre Quadratwurzeln aus negativen x kann man so berechnen:

Imaginärteil des Ergebnisses = ${\sqrt {-x}}$

Siehe auch: Schriftliches Wurzelziehen, Einheitswurzel

Abschätzung einer Wurzel

Man kann, wie das Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung berechnen. Das läßt sich gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und wie die letzte Ziffer endet:

1 1 8 2 27 3 64 4 125 5 216 6 343 7 512 8 729 9 1.000 0

1.000 10 8.000 20 27.000 30 64.000 40 125.000 50 216.000 60 343.000 70 512.000 80 729.000 90 1.000.000 100

Beispiele:

• Die dritte Wurzel von 103.823:

Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, und demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.

• Die dritte Wurzel von 12.167:

Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, und demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das ganze funktioniert aber nur dann, wenn man davon ausgehen kann, das es sich bei der vorgegebenen Zahl um eine dritte Potenz handelt.

Bei den Rechenkünstlern handelt es sich natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen. z.B.: Was ist die 25. Wurzel von 880794982218444893023439794626120190780624990275329063400179824681489784873773249 und extremere Aufgaben.

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Ist $a=|a|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }$ eine komplexe Zahl, so sind $n$-te Wurzeln aus $a$ für eine natürliche Zahl $n$ die Lösungen der Gleichung

$z^{n}-a=0.$

Sie hat für $a\not =0$ genau $n$ verschiedene Lösungen:

$z_{k}={\sqrt[{n}]{|a|}}\exp \left({\frac {\mathrm {i} \alpha }{n}}+k\cdot {\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}\right)\quad (k=0,1,2...n-1).$

Der Sonderfall $a=1$ wird als Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als Einheitswurzeln. Die Bezeichnung "Kreisteilungsgleichung" erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die $n$-ten Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius $1$ und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in $n$ gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks.

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) $n$-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des Logarithmus definieren:

$z^{1/n}=\exp {\frac {\log z}{n}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\})$

Andere Bedeutungen des Wortes

Für die veraltete Bedeutung der Wurzel als Lösung einer Gleichung, siehe den Artikel Nullstelle.

Für die spezielle Bedeutung in der Darstellungstheorie, siehe den Artikel Wurzelsystem.

Für die außermathematische Verwendung des Wortes siehe Wurzel.