Quartische Gleichung

Definition

Eine biquadratische Gleichung oder polynomiale Gleichung 4. Grades (auch neu-deutsch quartische Gleichung genannt) hat die Form

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

mit $a\neq 0$.

Spezialformen

$a=0$ mit $b\neq 0$ führt auf eine kubische Gleichung.

Ist $b=0$ und $d=0$, dann lässt sich die Gleichung durch die Substitution $y=x^{2}$ auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Diese Spezialform wird manchmal in Lehrbüchern fälschlicherweise als biquadratische Gleichung bezeichnet.

Geschichte

Die geschlossene Lösung der biquadratischen Gleichung fand der italienische Mathematiker Lodovico Ferrari (1522-1565). Diese Lösung veröffentlichte sein Lehrer Gerolamo Cardano 1545 in dem Werk Ars magna de Regulis Algebraicis.

Satz

Voraussetzung: Gegeben sei eine quartische Gleichung $Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0$ mit $A,B,C,D,E,x\in \mathbb {C}$.

Aussage: Dann kann man ihre Lösungen wie folgt angeben:

• Algorithmus 0: Nur für $B=0$ und $D=0$:

1. Substituieren: $x^{2}$ durch $z$: $Az^{2}+Cz+E=0\qquad \qquad (99)$,
2. Finden: Die Lösungen zu Gleichung (99) $z_{1}$ und $z_{2}$ finden: siehe Quadratische Gleichung,
3. Rück-subsitituieren: $x=\pm {\sqrt {z}}$: $x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}$, $x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}$, $x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}$, $x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}$.

• Algorithmus 1 (frei nach Ferrari; entnommen aus der englischen Bruder Wikipedia Quartic equation):

$\alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},$

$\beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},$

$\gamma ={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},$

Falls $\beta =0$, dann löse $u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0$ und berechne $x_{1,2,3,4}=u_{1,2,3,4}-{B \over 4A}$.

$P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,$

$Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},$

$U={\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}$  , wobei die Quadratwurzel möglichst so zu wählen ist, dass $U$ nicht verschwindet,

$y=-{5 \over 6}\alpha -U+{\begin{cases}U=0&\to 0\\U\neq 0&\to {P \over 3U}\end{cases}}\quad ,$

$x_{1,2,3,4}=-{B \over 4A}+{s{\sqrt {\alpha +2y}}+r{\sqrt {-(\alpha +2y)-2\left(\alpha +s{\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.$

$s,r\in \{-1,1\}$ wählen, um alle Lösungen zu erhalten

Quod Erat Faciendum.

• Algorithmus 2: ausgelagert zwecks Korrektur (siehe Diskussions Seite zu diesem Artikel)

Beweis

(konstruktiv)

bis zur Erstellung der deutschen Übersetzung möge die englische Version der Herleitung hinreichen: Quartic equation

Hilfssatz A

Aussage: $\bigwedge _{a,b\in \mathbb {C} }a+{\sqrt {a^{2}+b}}=0\Longrightarrow a=0\wedge b=0$, wobei eine Wurzel, für die gilt ${\sqrt {a^{2}}}=+a$, gemeint ist.

Beweis durch Annahme des Gegenteils (Widerspruchsbeweis):

1. Die Annahme $a=0\wedge b\neq 0$ führt zu ${\sqrt {b}}=0$ und somit zum Widerspruch.
2. Die Annahme $a\neq 0\wedge b=0$ führt zu $2a=0$ und somit zum Widerspruch.
3. Die Annahme $a\neq 0\wedge b\neq 0$ führt zu ${\sqrt {a^{2}+b}}=-a$ und weiter zu $a^{2}+b=a^{2}$ und weiter zu $b=0$ und somit zum Widerspruch.

Also folgt aus $a+{\sqrt {a^{2}+b}}=0$ dass $a$ und $b$ verschwinden.

quod erat demonstrandum

Pseudo-Code

A, B, C, D, E, a, b, c, P, Q, R, U, y, x1, x2, x3 und x4 können komplexe Zahlen sein.

Demzufolge müssen die Funktionen „sqrt“, „exp“ und „ln“ auf ebensolchen Zahlen definiert sein.

Für B=0 und D=0

• dann

1. Algorithmus aus dem Artikel Quadratische Gleichung auf $Az^{2}+Cz+E=0$ anwenden
2. und $x_{1,2,3,4}$ berechnen

x1 = sqrt(z1);

x2 = -sqrt(z1);

x3 = sqrt(z2);

x4 = -sqrt(z2);

• sonst

a = -3*B*B/(8*A*A) + C/A;

b = B*B*B/(8*A*A*A) - B*C/(2*A*A) + D/A;

c = -3*B*B*B*B/(256*A*A*A*A) + C*B*B/(16*A*A*A) - B*D/(4*A*A) + E/A;

wenn b = 0

• dann

1. löse $u^{4}+au^{2}+c=0$
2. und berechne

x1=u1-B/(4*A);

x2=u2-B/(4*A);

x3=u3-B/(4*A);

x4=u4-B/(4*A);

• sonst

P = -a*a/12 - c;

Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8;

R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27);

wenn R = 0

• dann U = 0;
• sonst U = exp(ln(R)/3);

wenn U = 0

• dann (prüfe, ob P=0 gilt) y = -5*a/6;
• sonst y = -5*a/6 + P/(3*U) - U;

x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2;

x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2;

x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2;

x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2;

Es empfiehlt sich die Probe zu machen...

Beispiele

Beispiel für $P\neq 0\vee Q\neq 0$

> calc
C-style arbitrary precision calculator (version 2.11.5t4.5)
Calc is open software. For license details type:  help copyright
[Type "exit" to exit, or "help" for help.]
> A=1
> B=10
> C=-6
> D=60
> E=36
> a=-3*B^2/A^2/8 + C/A
> a
        -43.5
> b=B^3/8/A^3 - B*C/2/A^2 + D/A
> b
        215
> c=-3*B^4/256/A^4 + C*B^2/16/A^3 - B*D/4/A^2 + E/A
> c
        -268.6875
> P = -a*a/12 - c
> P
        111
> Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8
> Q
        -1120
> R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27)
> R
        43.53376044758258411234
> U = exp(ln(R)/3)
> U
        3.51783442380909981526
> y = -5*a/6 + P/(3*U) - U
> y
        ~43.24999999999999999999
> x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x1
        .77871926215100032617+2.32241174444907628892i
> A*x1^4+B*x1^3+C*x1^2+D*x1+E
        ~.00000000000000000007-~.00000000000000000073i
> x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x2
        ~-.54483004754633870880
> A*x2^4+B*x2^3+C*x2^2+D*x2+E
        ~.00000000000000000014
> x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x3
        .77871926215100032617-2.32241174444907628892i
> A*x3^4+B*x3^3+C*x3^2+D*x3+E
        ~.00000000000000000007+~.00000000000000000073i
> x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x4
        ~-11.01260847675566194353
> A*x4^4+B*x4^3+C*x4^2+D*x4+E
        ~-.00000000000000000335

Beispiel für $P=0\wedge Q=0$

> calc
C-style arbitrary precision calculator (version 2.11.5t4.5)
Calc is open software. For license details type:  help copyright
[Type "exit" to exit, or "help" for help.]
> A=1
> B=0
> C=1
> D=sqrt(-8/27)
> E=-1/12
> a=-3*B^2/A^2/8 + C/A
> a
        1
> b=B^3/8/A^3 - B*C/2/A^2 + D/A
> b
        .54433105395181735515i
> c=-3*B^4/256/A^4 + C*B^2/16/A^3 - B*D/4/A^2 + E/A
> c
        ~-.08333333333333333333
> P = -a*a/12 - c
> P
        0
> Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8
> Q
        ~-.00000000000000000000
> R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27)
> R
        ~-.00000000000000000000
> # U = exp(ln(R)/3)
> U=0
> U
        0
> # y = -5*a/6 + P/(3*U) - U
> y = -5*a/6
> y
        ~-.83333333333333333333
> x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x1
        ~1.22474487139158904909i
> A*x1^4+B*x1^3+C*x1^2+D*x1+E
        ~-.00000000000000000000
> x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x2
        -~.40824829041868291618i
> A*x2^4+B*x2^3+C*x2^2+D*x2+E
        ~-.00000000000000000000
> x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x3
        -~.40824829046386301636i
> A*x3^4+B*x3^3+C*x3^2+D*x3+E
        ~-.00000000000000000000
> x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x4
        -~.40824829050904311654i
> A*x4^4+B*x4^3+C*x4^2+D*x4+E
        ~-.00000000000000000000

Literatur

siehe Cardanische Formeln

Siehe auch

Gleichung, Lösen von Gleichungen, Mathematik