Diskussion:Differentialform

Dieser Artikel gefällt mir sehr gut, aber es fehlen die Erklärungen geschlossene/exakte Form sowie das Integral von n-Formen. Pfaffsche Form beschreibt den Spezialfall der 1-Formen auf Teilmengen des Rⁿ in einer sehr koordinatenbetonten, inhaltlich und sprachlich verbesserungsbedürftigen Form; auch hat beispielsweise die Erklärung des Begriffs "Tangentialvektor" dort nichts verloren.

Vorschlag: erhaltenswerte Teile integrieren.--Gunther 13:42, 15. Mär 2005 (CET)

Ich finde beide Artikel sollten zu einem Artikel vereinigt werden. Der Spezialfall der Pfaffschen Form ist für das Verständnis von Differentialformen sehr wichtig. Deshalb ist eine gesonderte Diskussion angebracht. Aus Verständnisgründen sollte die Diskussion der Pfaffschen Form vorangestellt werden, worauf die allgemeine Definition von Differentialformen folgt. Die Erklärung von Tangentialvektorräumen ist essentiell für das Verständnis von Differentialformen. Der Artikel "Tangentialraum" gibt eine Einführung in das Gebiet.

Beiden Artikel fehlt eine ansprechende Gliederung. Ferner sollten ein oder zwei bedeutsame geometrische oder physikalisch/technische Anwendungen zur Veranschaulichung diskutiert werden. Benutzer:Kilian Klaiber

Hm, habe (von mir sind große Teile dieses Artikels) den Artikel Pfaffsche Form damals gar nicht gesehen, Gunthers Idee ist aber sicher richtig, bei Pfaffsche Form sind mir aber so viele Pfeile, das beeinträchtigt m.E. die Lesbarkeit. 217.231.171.238 22:08, 19. Mär 2005 (CET)

Benutzer:Kilian Klaiber:Ich habe einige Fragen zur Definition. Ich vermute, dass die sogenannte Karte eine Karte der Mannigfaltigkeit M darstellt. Was ist aber unter der Basis einer Karte zu verstehen? Wieso ist hier überhaupt von einer Karte die Rede? Zur Definition der Differentialform bedarf es doch keiner Karte! @ Gunther: Wieso bilden die Differentialformen und/oder K-Formen keinen Vektorraum? Welches Vektorraum-Axiom wird den durch die Differentialformen oder K-Formen verletzt?

Die Differentialformen (auf einer festen offenen Menge, also zB ganz M) bilden einen Vektorraum, das Kotangentialbündel nicht.

Ob man für die Definition einer Differentialform eine Karte benötigt, hängt von der verwendeten Konstruktion des Tangentialbündels ab. Mit der "Basis" des Kotangentialbündels ist eine lokale punktweise Basis gemeint, d.h. für jeden Punkt p in der Karte bilden die $\mathrm {d} x^{i}(p)$ eine Basis des Vektorraums $T_{p}^{*}M$. Leider ist Vektorbündel noch im Entstehen.--Gunther 22:40, 28. Mär 2005 (CEST)

[Benutzer:Kilian Klaiber]]: Also je länger ich über diesen Artikel nachdenke desto weniger gefällt er mir.

1. Am Anfang ist von einem "Leibnizschen Differential" die Rede. Die Begriffe Vektoranalysis und Gradient fallen. Es bleibt aber vollkommen schleierhaft,was die Differentialform damit zu tun hat. 2. Die eigentliche Definition der Differentialform greift auf alle möglichen Begriffe zurück, die entweder zur Festlegung nicht notwendig sind oder deren Bedeutung schleierhaft ist. Zur Definition einer Differentialform bedarf es keiner komplizierten topologischen Begriffe wie Schnitt, Bündel, Karte, Modul, ... Ein solcher Artikel sollte so allgemein verständlich wie möglich sein. Deshalb sollten meiner Meinung nach alle diese Begriffe gestrichen werden! Wichtige Begriffe werden allerdings nicht erläutert, insbesondere was eine alternierende k-Form auf einem Vektorraum V ist, bleibt schleierhaft. Schließlich gehört die Koordinatendarstellung nicht zur Definition der Differentialform. Es ist auch vollkommen unerheblich für die Definition der Differentialform, ob die Menge der Differentialformen einen Vektorraum oder sonst irgendetwas bilden. Für die Darstellung der Differentialform nach Ihren Basisvektoren, ist es allerdings notwendig zu wissen, dass sie einen Vektorraum bilden. 3. Die Darstellung der Differentialform nach ihrer Basis (der Kram mit den Dachprodukten neben dem Summenzeichen) ist schlicht falsch. 4. @Gunther: Die Menge der alternierenden K-Formen bildet einen Vektorraum, der mit $\bigwedge {}^{k}V^{*}$ üblicherweise bezeichnet wird. Jeder Vektorraum wird durch seine Basis aufgespannt. Die Basis eines Vektorraums wird gebildet durch eine Menge linear unabhängiger Vektoren. Deshalb kann jede Differentialform der Ordnung k nach ihren Basisvektoren $dx^{i}1\wedge \ldots \wedge dx^{i}k$ entwickelt werden. Die Vektoren $dx^{i}1$ bilden eine Basis des Vektorraums der Differentialformen 1. Ordnung bzw. Pfaffschen Formen.

1. Das ist richtig, der Einleitungsteil ist zu kurz. Ich habe mich vor ein paar Tagen mal in Differential (Mathematik) an einer Erklärung versucht, was Differentialformen und Leibniz' Idee eines Differentials miteinander zu tun haben.

2. Für die Definition von Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten wird man ein paar Grundbegriffe zu Mannigfaltigkeiten brauchen. Da alternierend auch in äußere Algebra nicht verlinkt ist, nehme ich an, dass es keinen Artikel gibt. Der Artikel hat noch Verbesserungspotential, das bestreite ich nicht.

3. Das stimmt schon. Was da ausführlicher stehen könnte, wäre:

Es gibt zu jeder $k$-Form $\omega$ eindeutig bestimmte Funktionen $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ für $i_{1}<\ldots <i_{k}$, so dass

$\omega =\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}$

gilt.

Und das kann man so in jedem Analysis- oder Diffgeobuch nachlesen.

4. Nein, sie bilden eine Basis des freien $C^{\infty }(U)$-Moduls der Differentialformen. Das ist schon für 1-Formen so, das hat nichts mit den äußeren Potenzen zu tun. Man kann

$\sin x\cdot \mathrm {d} x$

nicht mit konstanten reellen Koeffizienten bezüglich der Basis $\mathrm {d} x$ darstellen.

--Gunther 00:36, 29. Mär 2005 (CEST)

Tut mir Leid, aber der Artikel ist eine Katastrophe. Es bedarf überhaupt nicht des Begriffes der Mannigfaltigkeit, um eine Differentialform zu definieren. Eine offene Teilmenge des R^n genügt schon. Mehr Topologie ist für eine Begriffsdefinition überflüssig und falsch. Was unter der "Basis" eines Bündels zu verstehen ist, ist vollkommen unklar. Das kannst du dir wirklich alles schenken. In der Definition steht selbst, dass die Menge der k-Formen einen R-Vektorraum bilden. Ist unter der K-Form eine alternierende Form zu verstehen oder eine Differentialform der Ordnung k? In dem Artikel wird nicht sauber dazwischen unterschieden. Das stimmt alles hinten und vorne nicht und sollte komplett neu geschrieben werden, sorry das ist meine Meinung.

Differentialformen kann man auf offenen Teilen des R^n definieren, aber die naive Definition lässt sich nicht auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Und erst mit Mannigfaltigkeiten kann man zB den Satz von Stokes formulieren. Auf offenen Teilmengen des R^n sind Differentialformen ganz nett, aber niemand braucht sie wirklich, weil der Tangentialraum in jedem Punkt einfach gleich R^n ist.

"Lokale Basis" habe ich oben definiert. $\Omega ^{k}(M)$ ist zwar ein $\mathbb {R}$-Vektorraum, ist aber unendlichdimensional, und man kann keine Basis explizit angeben. k-Formen sind Differentialformen der Ordnung k, der Artikel schreibt ansonsten einmal "alternierende lineare k-Form", und dieser Unterschied sollte ausreichend sein.--Gunther 10:30, 29. Mär 2005 (CEST)

Ich denke das ist ein Artikel über Differentialformen! Vom Satz von Stokes ist hier meilenweit nichts zu sehen. Wenn es so weit ist, kann man sich mit Untermannigfaltigkeiten beschäftigen. Das hat hier wirklich noch nichts zu suchen. Das soll doch eine Einführung sein! Welcher Leser schwebt Dir denn vor? Unnötiger Ballast bitte fort! Ach ja, die "naive Definition "lässt sich sehr wohl auf Mannigfaltigkeiten erweitern. Die Mannigfaltigkeit ist einfach Teilmenge der offenen Menge definiert. Es ist schlicht falsch die Definition der Differentialform auf Mannigfaltigkeiten einzuschränken!

Ach und ich habe mir jetzt auch noch den Rest angetan. Der Artikel strotzt auf der einen Seite von mathematischem Fach-Chinesisch und Ungenauigkeiten. Bevor die äußere Ableitung überhaupt eingeführt ist, wird schon behauptet sie sei "Nilpotent". So what? d^2=0 versteht jeder. Nachdem die Koordinatendarstellung der Differentialform und deren äußere Ableitung also definiert sind, bemüßigt sich der Autor das Dachprodukt einzuführen. Das ist viel zu spät. Sowohl die äußere Ableitung als auch die Koordinatendarstellung verwenden bereits das Dachprodukt. Anstelle das Dachprodukt zu definieren und dessen wesentlichen Eigenschaften vorzustellen wird wieder verlinkt. Aber Oh Gott, nicht das Dachprodukt zwischen alternierenden K-Formen (wo sind die definiert?) sondern allgemeiner zwischen Multilinearformen wird vorgestellt. Wieder ein neuer unnötiger Begriff, der den Leser einschüchtert und fehl am Platz ist. Nicht jede Multilinearform ist eine alternierende k-Form, um die es hier ausschließlich geht! Im darauffolgenden Satz dasselbe, hochtrabend ist von einer "graduierten Algebra" und "Homogenität" die Rede. So What? Die darauffolgende dargestellt Ableitung des Keilproduktes zweier Multilinearformen verzichtet leider auf den Hinweis, dass die Multilinearformen differenzierbar sein müssen. Bitte Neu Schreiben! Das geht so überhaupt nicht. Als Einführung in das Gebiet Differentialformen ist der Artikel leider vollkommen ungeeignet.

Da wir einen Artikel Satz von Stokes haben, brauchen wir einen Artikel, der Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten erklärt. Nicht jede Mannigfaltigkeit ist Teilmenge des R^n, schon gar keine offene. (Und sage mir bitte nicht, dass Du den Begriff der Differentialform mit dem Whitneyschen Einbettungssatz definieren willst.) Was also ist eine globale Differentialform auf z.B. der reellen projektiven Ebene?

Die angeblichen "Ungenauigkeiten" sehe ich nicht.

Natürlich fehlt dem Artikel eine elementare Einleitung. Aber ich denke, er ist dennoch eine bessere Grundlage als Pfaffsche Form, wo man vor lauter Koordinaten und Pfeilchen nichts mehr sieht.--Gunther 11:29, 29. Mär 2005 (CEST)

Du hast leider vollkommen den Leser aus dem Auge verloren. Wer soll denn den Artikel lesen? Mit Differentialformen beschäftigen sich nicht nur Mathematiker, auch Physiker, Chemiker, Elektrotechnik- und Maschinenbauingenieure haben damit zu tun. Vielleicht möchte sich auch mal ein einfacher Mathematiklehrer mit dem Thema beschäftigen. Die erreichst Du überhaupt nicht. Versuch doch erst mal eine verständliche Erklärung des Begriffs Differentialform anzugeben. Stelle Dir vor, jemand will Differentialformen sinnvoll anwenden. Nach Deiner Einführung ist das unmöglich. Versuche nicht Leute mit Fach-Chinesisch zu beeindrucken (z.B.Whitneyscher Einbettungssatz :-)) Das hat in so einem Artikel nichts zu suchen. Falls Du kein Buch mit einer sinnvollen Definition von Differentialformen hast, möchte ich dir empfehlen: Barner Flohr "Analysis II" oder Otto Forster: "Analysis 3". In diesen Büchern ist der Stokesche Integralsatz auf Untermannigfaltigkeiten des R^n definiert. Insofern sind mir Deine Ausführungen dazu schleierhaft.

Ich stimme Dir völlig zu, dass diesem Artikel eine elementare Einleitung fehlt, das habe ich auch schon mehrfach gesagt. Ich empfinde allerdings die Versuche, den Begriff Mannigfaltigkeit zu umgehen, meist als etwas umständlich. Extrembeispiel ist hier die Darstellung in Heusers Analysis, die kann ich bis heute nicht nachvollziehen. Und es gibt nun einmal Mannigfaltigkeiten, die nicht mit einer kanonischen Einbettung daherkommen, wie z.B. die projektive Ebene, und dann hat man das Problem, dass "naive" Tangentialvektoren zu einer Einbettung gehören usw.

Abgesehen davon ist das hier eine Enzyklopädie, und die sollte alle Verwendungen des Begriffes aufzeigen.

Wenn Du nicht laut protestierst, würde ich mich heute abend mal an einer Überarbeitung versuchen. Ich verspreche auch, den Whitneyschen Einbettungssatz nicht zu erwähnen (ich wüsste auch nicht, wieso).--Gunther 13:14, 29. Mär 2005 (CEST)

Super, ich bin gespannt!

Also, das lässt sich richtig gut an! Kompliment!

Oh, danke. Es fehlt noch alles, das mit Integration zu tun hat, und natürlich Beispiele. Aber nicht heute...--Gunther 00:18, 30. Mär 2005 (CEST)

Abgrenzung

Mir ist nur immer noch nicht klar, wie die Abgrenzung gegenüber Pfaffsche Form erfolgen soll.

• Den derzeitigen Inhalt von Differentialform halte ich für das Minimum, wir können nicht zur Definition von k-Formen auf Pfaffsche Form verweisen, selbst wenn wir die Notationen vereinheitlichen.
• Das Integral für n-Formen kann Pfaffsche Form nicht leisten, d.h. das muss auch noch hierher.
• Ich kann mir vorstellen, dass es sinnvoll ist, das Integral einer k-Form über eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit für Wege/Kurven separat zu erklären.
• Die Beziehung zu rot und div fehlt bisher noch, dabei geht es aber auch um 2- oder 3-Formen.
• Ansonsten gibt es noch die physikalischen Beispiele aus Pfaffsche Form.

Habe ich etwas übersehen? Was fehlt sonst? Kommentare? (Ach ja: bitte immer mit zwei Minussen und vier Tilden unterschreiben, und am besten anmelden und immer den Anmeldenamen benutzen. Mir ist nämlich nicht ganz klar, wieviele Leute hier eigentlich an der Diskussion beteiligt sind...)--Gunther 19:40, 1. Apr 2005 (CEST)

Die wichtigsten Punkte zum Integral sind jetzt da, aber z.B. die tatsächliche Konstruktion sollte in einen separaten Artikel.-- Gunther 22:31, 7. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther,

ich habe mir den Artikel noch mal genauer durchgelesen. Im Großen und Ganzen ist er schon viel besser geworden. Ich meine, dass es keinen Zweck hat die Nomenklatur der beiden Artikel "Differentialform" und "Pfaffsche Form "zu vereinheitlichen. Auch wenn man die ganze Pfeile weglässt gibt es noch diverse Unterschiede. Vielleicht sollte man die Artikel nebeneinander stehen lassen. Pfaffsche Form behandelt dann lediglich ausführlicher einen Spezialfall einer Differentialform. Genauso macht es beispielsweise Sinn separate Artikel für Riemann- und Lebesgue-Integrale aufzunehmen.

So, jetzt einige Detailanmerkungen.

Bei der Definition der 1-Form werden zwei verschieden Definitionen präsentiert, wobei unklar ist inwiefern die Definitionen äquivalent sind. Ferner ist davon die Rede, dass die Abbildung $p\mapsto \omega _{p}(X_{p})\in \mathbb {R}$ differenzierbar sein muss. Es ist aber nicht klar bezüglich welchen Arguments (p oder X) die Abbildung differenzierbar sein muss. Das Symbol $\Gamma \mathrm {T} U$ wird ohne vorherige Definition eingeführt, so dass dem unbefangenen Leser die Bedeutung unklar ist.--Kilian Klaiber 14:38, 8. Apr 2005 (CEST)

• Die Definition zweimal mit unterschiedlichen Notationen aufzuschreiben, kommt mir unnötig und verwirrend vor.
• Zu Differentialformen und Physik gibt es durchaus noch mehr zu sagen, Physiker interessieren sich doch auch für div rot = 0 und Vektorpotentiale, und irgendetwie leben die p's und q's der klassischen Mechanik im Kotangentialbündel.
• Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung würde für meinen Geschmack gut zum Gaußschen Integralsatz & co. passen.

Deshalb scheint mir eine Aufteilung Differentialform, Differentialformen in der Physik, Integration von Differentialformen sinnvoll.

Zur momentanen Fassung von Differentialform:

• die Frage der Differenzierbarkeit nach p oder X sollte durch die kleine Formulierungsänderung jetzt klar sein
• $\Gamma \mathrm {T} U$ wird im Abschnitt "Kontext" unter dem Punkt "Vektorfeld" definiert
• Die eine Implikationsrichtung bei den beiden Definitionen finde ich offensichtlich (sind die $\omega _{p}$ gegeben, so ist $\omega (X)$ die Funktion $p\mapsto \omega _{p}(X_{p})$), die andere Richtung ist zugegebenermaßen aus dem, was dasteht, nicht klar. Aber ich würde denken, dass das zu weit führt: Zu zeigen ist

$X_{p}=Y_{p}\Longrightarrow \omega (X)(p)=\omega (Y)(p)$

oder äquivalent

$X_{p}=0\Longrightarrow \omega (X)(p)=0.$

Wählt man Koordinaten, so hat $X$ die Form

$X=f_{1}\cdot {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\ldots +f_{n}\cdot {\frac {\partial }{\partial x_{n}}},$

und es gilt $f_{1}(p)=\ldots =f_{n}(p)=0$. Mit einem Standardargument (Partition der Eins) ist also

$\omega (X)(p)=f_{1}(p)\omega \!\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)+\ldots +f_{n}(p)\omega \!\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)=0.$

Das ist aber mMn auch nicht so interessant, als dass man es im Artikel vorführen müsste.

-- Gunther 15:56, 8. Apr 2005 (CEST)

Abstraktheit

Ach ja, noch eine kleine Anmerkung von mir. Ich meine, dass es nicht immer sinnvoll ist die abstrakteste Definitionen voranzustellen. Das schreckt den Leser nur ab. Besser erscheint es mir mit einer weniger allgemeinen Definition anzufangen, die einfacher zu verstehen ist, um später eine abstraktere Definition einzuführen. Ich finde der Artikel offene Menge macht das sehr schön! --Kilian Klaiber 14:52, 8. Apr 2005 (CEST)

In diesem Fall finde ich die koordinatenfreie Definition wesentlich einfacher. Ich kann mich erinnern, dass ich bei der Definition des Tangentialbündels die Definition über Derivationen am angenehmsten fand: Ein Vektorfeld ist etwas, mit dem man Funktionen ableiten kann. Und nicht: Ein Vektorfeld ist eine Summe $f_{1}\cdot {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\ldots$, und wenn ich andere Koordinaten nehme, ist das Vektorfeld ein anderes, aber doch irgendwie dasselbe.

Genauso hier: eine 1-Form ist etwas, mit dem man aus einem Vektorfeld eine Funktion macht, oder das punktweise aus Tangentialvektoren Zahlen macht. Ich denke, als erste Definition ist das handlich und überschaubar. Dagegen weiß bei $\mathrm {d} x_{i}$ doch niemand, was das eigentlich genau ist.-- Gunther 16:31, 8. Apr 2005 (CEST)

Lieber Gunther, ich verstehe Dich leider überhaupt nicht mehr! Ein Vektorfeld ist doch nicht etwas, mit dem man Funktionen ableiten kann! Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt $r$ eines Raumes einen Vektor ${\vec {F}}(r)$ zuordnet. Das hat überhaupt nichts mit Ableitungen zu tun! --Kilian Klaiber 12:38, 9. Apr 2005 (CEST)

(Mit Vektorfeld meine ich Tangentialvektorfeld.)

Tangentialvektoren haben i.w. zwei Aufgaben:

• Geschwindigkeitsvektoren von Wegen zu sein
• Richtungsableitungen von Funktionen zu definieren.

Möchte man jetzt definieren, was ein differenzierbares Vektorfeld ist, so ist das im zweiten Bild wesentlich leichter. Die dritte Möglichkeit:

• Lokal wissen wir, was Tangentialvektoren sind.

hat das Problem, dass man keine Vorstellung davon bekommt, was ein globales Vektorfeld z.B. auf der 2-Sphäre tatsächlich ist.-- Gunther 15:45, 9. Apr 2005 (CEST)

Die vierte Möglichkeit:

• Im umgebenden Raum wissen wir, was Tangentialvektoren sind.

hat das Problem, dass die Definition zunächst vom umgebenden Raum abhängt und die Unabhängigkeit erst noch gezeigt werden muss.-- Gunther 16:01, 9. Apr 2005 (CEST)

Ich sehe ein, dass das letzte Argument (gegen die Definition durch eine Einbettung) schwacht ist. Aber zum einen gibt es Mannigfaltigkeiten ohne kanonische Einbettung (das Beispiel reelle projektive Ebene ist ja schon genannt) oder mehr als einer Einbettung (obere Halbebene oder Einheitskreisscheibe), zum anderen ist die intrinsische Sichtweise "die richtige". Will man beispielsweise im Einbettungsbild die Richtungsableitung einer Funktion auf der 2-Sphäre bilden, muss man die Funktion erst auf den umgebenden Raum ausdehnen (dabei ist eine Wahl zu treffen: radial oder in Richtung einer Koordinatenachse?), entsprechend wenn man die Lieklammer zweier Vektorfelder bilden will.-- Gunther 16:40, 9. Apr 2005 (CEST)

Ein Vektorfeld ${\vec {F}}(r)$ ist ein (total oder partiell) differenzierbares Vektorfeld, wenn die (totale oder partiellen) Ableitung(en) des Vektorfeldes an jedem Punkt r existiert(en). Was ist das Problem? Was hat das überhaupt noch mit Differentialformen zu tun? --Kilian Klaiber 17:33, 9. Apr 2005 (CEST)

Was ist ein Tangentialvektor an die 2-Sphäre? Ein Vektor im $\mathbb {R} ^{3}$? So verstehe ich Dich, und das ist die vierte Möglichkeit oben, mit den genannten Problemen.

Der Bezug zu den Differentialformen ist der, dass dort dasselbe Problem auftritt: man interessiert sich nur für differenzierbare (oder zumindest stetige oder messbare) Differentialformen. Es gibt dann die folgenden Möglichkeiten zur Definition:

• über die Auswertung auf einem Vektorfeld, wie in Differentialform
• über lokale Koordinaten und eine explizite Basis, wie in Pfaffsche Form (auch wenn da momentan noch "$f_{i}$ sind beliebige Abbildungen" steht)
• über das Kotangentialbündel.

Die dritte Möglichkeit ist zu kompliziert, das hatten wir ja schon geklärt. Wenn man jetzt nicht unmotiviert Symbole $\mathrm {d} x_{i}$ einführen will, sondern diese als äußere Ableitung der Koordinaten definiert, so bleibt nur die erste Möglichkeit. (In Pfaffsche Form steht, dass $\mathrm {d} s$ kein totales Differential ist. Ist aber $s$ die Bogenlänge, so ist $\int f\,\mathrm {d} s$ genau das Integral der Differentialform $f\,\mathrm {d} s$.)-- Gunther 18:17, 9. Apr 2005 (CEST)

O.K. ich glaube es geht Dir wieder um die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Mit 2-Sphäre ist wohl eine Kugeloberfläche gemeint. Tangentialvektoren einer Kugeloberfläche sind Elemente der R^3. Ich bin d'accord. Man kann die Menge der Tangentialvektoren als Vektorfeld auf der Kugeloberfläche auffassen. So weit alles richtig? Meinst du mit "Auswertung eines Vektorfeldes" die lineare Abbildung der Tangentialvektoren auf R? Ich habe mir noch mal den Artikel Pfaffsche Form angeschaut. In der Definition steht da nichts von lokalen Koordinaten und lokaler Basis. Wie kommst du darauf? --Kilian Klaiber 19:06, 9. Apr 2005 (CEST)

Ja, mit Auswertung meine ich das Bild eines Tangentialvektors unter dem fraglichen Kotangentialvektor, also eine reelle Zahl. "Lokale Koordinaten" sind im Fall von Pfaffsche Form einfach die Koordinaten auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, und die Basis der Differentialformen ist $\{\mathrm {d} x_{1},\ldots ,\mathrm {d} x_{n}\}$. (Der ganze Artikel behandelt nur den lokalen Fall.)-- Gunther 19:27, 9. Apr 2005 (CEST)

Tut mir leid, das ist zu hoch für mich. Wie meinst Du das? --Kilian Klaiber 20:04, 9. Apr 2005 (CEST)

Ich meine damit: in Pfaffsche Form ist Stetigkeit von 1-Formen über die Stetigkeit der $f_{i}$ in

$w=f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\ldots +f_{n}\,\mathrm {d} x_{n}$

definiert. Alternativ kannst Du auch alle $T_{p}^{*}U$ mit $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ identifizieren und sagen, dass $w\colon U\to (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ stetig sein soll. Beides geht beispielsweise für die Kugeloberfläche nicht so einfach:

• Es gibt kein globales Koordinatensystem $\{y_{1},y_{2}\}$ für die Kugeloberfläche. Man kann zwar jede 1-Form auf der Kugeloberfläche in der Form

$f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+f_{2}\,\mathrm {d} x_{2}+f_{3}\,\mathrm {d} x_{3}$

mit den Koordinaten $x_{1},x_{2},x_{3}$ des umgebenden $\mathbb {R} ^{3}$ darstellen, aber diese Darstellung ist nicht eindeutig, da beispielsweise die Differentialform

$w=\mathrm {d} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})=2x_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+2x_{2}\,\mathrm {d} x_{2}+2x_{3}\,\mathrm {d} x_{3}$

auf jedem Tangentialvektor an die Kugeloberfläche verschwindet, d.h. als 1-Form auf der Kugeloberfläche gleich Null ist.

• Jeder einzelne Tangentialraum ist ein zweidimensionaler Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{3}$, aber man kann die entsprechenden Dualräume nicht ohne weiteres als Unterräume in einem großen Vektorraum auffassen.

Ist jetzt klarer, was ich meine?-- Gunther 21:16, 9. Apr 2005 (CEST)

Irgendwie ist das, was du sagst, und das was im Artikel "PFAFFSCHE FORM" steht nicht dasselbe. Ich finde in dem Artikel überhaupt keine Definition der Stetigkeit einer "Pfaffschen Form" geschweige denn eine Definition die Gebrauch von fi macht. Ich weiß nicht, was du mit der Kugeloberfläche vorhast. Vielleicht ein kurzer Abschrecker. Als Definitionsbereich U ist die Kugeloberfläche vollkommen ungeeignet, das sie keine offene sondern eine abgeschlossen Teilmenge des R^3 darstellt. Zur Definition des Tangentialvektorraums müssen lediglich Kurven parametrisiert werden. Auf der Pfaffschen Form sind auch nur Kurvenintegrale definiert. Ich sehe deshalb gar keine Probleme.--Kilian Klaiber 22:05, 9. Apr 2005 (CEST)

Hier sprichst Du von der Stetigkeit einer Pfaffschen Form. Im Artikel steht keine Definition, das stimmt. Oben habe ich die beiden im Kontext des Artikels einzig möglichen Definitionen genannt.

Zum Thema Kugeloberfläche: das soll illustrieren, dass man am Fall offener Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ einfach nicht alle Aspekte einer pfaffschen Form sehen kann. Mal ganz provokant: Für offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ braucht man gar keine 1-Formen, da kann man genausogut Vektorfelder nehmen: Statt einer pfaffschen Form

$w=f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\ldots +f_{n}\,\mathrm {d} x_{n}$

mit Funktionen $f_{i}\colon U\to \mathbb {R} .$ nehme ich das Vektorfeld

$p\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(p)\\\vdots \\f_{n}(p)\end{pmatrix}}.$

Wenn ich einen Tangentialvektor

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

in einem Punkt $p\in U$ hernehme, ist

$\langle w(p),x\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}f_{1}(p)\\\vdots \\f_{n}(p)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle =f_{1}(p)x_{1}+\ldots +f_{n}(p)x_{n}.$

Das totale Differential einer Funktion $F$ ist einfach der Gradient

${\begin{pmatrix}\partial F/\partial x_{1}\\\vdots \\\partial F/\partial x_{n}\end{pmatrix}}$.

Das Integral von $w$ entlang eines Weges $\varphi$ ist

$\int _{\varphi }w=\int _{a}^{b}\langle f(\varphi (t)),\varphi '(t)\rangle \mathrm {d} t=\int _{a}^{b}(f_{1}(\varphi (t))\varphi _{1}'(t)+\ldots +f_{n}(\varphi (t))\varphi _{n}'(t))\,\mathrm {d} t,$

und wenn $w$ ein Gradientenfeld ist, dann ist das Integral wegunabhängig. Das alles ist im Prinzip völlig korrekt. Warum also den Begriff "Pfaffsche Form" einführen, wenn man genausogut mit Vektorfeldern arbeiten könnte?-- Gunther 22:37, 9. Apr 2005 (CEST)

Gute Frage, was ist die Antwort? --Kilian Klaiber 23:02, 9. Apr 2005 (CEST)

Kurze Antwort:

1. Sie verhalten sich unterschiedlich unter Koordinatentransformationen.
2. Sie sind Spezialisierungen von verschiedenen allgemeineren Begriffen (nämlich Vektorfeldern und 1-Formen auf Mannigfaltigkeiten).

-- Gunther 23:08, 9. Apr 2005 (CEST)

Die Frage war: Warum also den Begriff "Pfaffsche Form" einführen, wenn man genausogut mit Vektorfeldern arbeiten könnte?

Deine Antwort: Sie (die Pfaffsche Form und die Vektorfelder) sind Spezialisierungen von verschiedenen allgemeineren Begriffen (nämliche Vektorfeldern und 1-Formen auf Mannigfaltigkeiten). Die Pfaffsche Form ist Spezialisierung einer Pfaffschen Form bzw. 1-Form? Das ist absurd! Ich glaube mittlerweile nicht mehr, dass du weist, wovon du sprichst! Zumindest kannst Du dich nicht präzise ausdrücken. Davon zeugt die ganze Diskussion. --Kilian Klaiber 00:00, 10. Apr 2005 (CEST)

Der Kontext war eine offene Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{n}$. Der Begriff der pfaffschen Form auf einer offenen Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Spezialisierung des Begriffes der pfaffschen Form auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Ok?-- Gunther 00:24, 10. Apr 2005 (CEST)

Mein Gott, und als Beispiel dafür, dass die Pfaffsche Form auf einer offenen Teilemenge des R^n nicht richtig definiert ist, wählst Du die Kugeloberfläche, eine 2-Dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^3! Wähle eine offene Teilmenge des R^3, in der die Kugeloberfläche enthalten ist. Den Tangentialvektorraum an einem Punkt der Kugeloberfläche erhältst du, indem du die Ableitung aller auf der Kugeloberfläche liegenden Kurven an dem Punkt bildest. Das Kurvenintegral auf der Oberfläche ist ebenso leicht definiert. Das Kurvenintegral ist ein Integral über eine eindimensionalen Untermannigfaltigkeit! Die Integration von K-Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten des R^n ist vollkommen unproblematisch. Dazu bedarf es keiner Verallgemeinerung! Das Beispiel ist vollkommen ungeeignet! Sorry, du hast es nicht verstanden!

Wenn es darum geht, dass eine Definition oder eine Sichtweise sich nicht auf den allgemeinen Fall übertragen lässt, dann muss ich natürlich ein Beispiel für den allgemeinen Fall angeben.

Wie definierst Du, was eine stetige 1-Form auf der Kugeloberfläche ist? Oder gibt es bei Dir gar keine 1-Formen auf der Kugeloberfläche, sondern nur 1-Formen auf der gewählten offenen Umgebung im $\mathbb {R} ^{3}$?-- Gunther 01:27, 10. Apr 2005 (CEST)