Planck-Einheiten

Planck-Einheiten sind ein natürliches System von Einheiten für Länge, Zeit und Masse, dass sich aus den drei grundlegendsten Naturkonstanten herleitet, der Gravitationskonstanten G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem Planckschen Wirkungsquantum h.

Sie markieren eine Grenze für die Gültigkeit der bekannten Gesetze der Physik. So hätte beispielsweise jedes Objekt, das kleiner wäre als die Planck-Länge von ca. 10^-35 m aufgrund der Unschärferelation so viel Energie, dass es zu einem Schwarzen Loch kollabieren würde (s. u.). Man muss davon ausgehen, dass Raum und Zeit jenseits der Planck-Länge und Planck-Zeit (ca. 10^-43 s) ihre uns vertrauten Eigenschaften als Kontinuum verlieren. Die Suche nach einer entsprechenden Theorie der sog. Quantengravitation gehört zu den größten Herausforderungen der physikalischen Grundlagenforschung.

Die Planck-Einheiten werden gelegentlich von Physikern halb scherzhaft "Einheiten Gottes" genannt. Sie stellen dank ihres Ursprungs selbst fundamentale Naturkonstanten dar.

Formeln und Zahlenwerte

Die Planck-Einheiten sind folgendermaßen definiert:

• Planck-Länge: l_p = ($\hbar$ G / c³)^1/2 ≈ 1,6 × 10^-35 m
• Planck-Zeit: t_p = ($\hbar$ G / c⁵)^1/2 ≈ 5,4 × 10^-44 s
• Planck-Masse: m_p = (c $\hbar$ / G)^1/2 ≈ 2,1 × 10^-8kg

Dabei gilt 2π$\hbar$ = h. Jede dieser Formeln ergibt sich direkt, wenn man einen mathematischen Ausdruck von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse sucht, der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von G, c und $\hbar$ enthält. Neben diesen 3 Grundgrößen werden auch folgende abgeleitet Größen verwendet:

• Planck-Energie: E_p = ($\hbar$ c⁵ / G)^1/2 ≈ 2,0 × 10⁷ J ≈ 1,2 × 10¹⁹ GeV
• Planck-Temperature: T_p = (c⁵ $\hbar$ / G)^1/2 / k ≈ 1,4 × 10³² K
• Planck-Dichte: ρ_p = c⁵ / ($\hbar$ G²) ≈ 5,1 × 10⁹⁶ kg/m³

Dabei ist k die Boltzmann-Konstante.

Die Planck-Skala als Grenze der Gültigkeit der bekannten Physik

Wie oben bereits angedeutet, führt die Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen Abständen zu Problemen: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser x, so hat es aufgrund der Unschärferelation einen mittleren Impuls p, wobei

$xp\approx \hbar .$

Selbst für ein Teilchen ohne Ruhemasse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden, wobei

$mc^{2}=E=pc={\hbar c}/x.$

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwartzschild-Radius

$r={2Gm}/{c^{2}},$

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar, denn je kleiner x gewählt wird, umso größer wird p und damit auch m und r bis schließlich $r\approx x$wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse, indem man r=x setzt und dann die beiden letzten Gleichungen nach x und m auflöst. Da es sich um eine grobe Abschätzung handelt, kann der Faktor 2 in der Formel für r vernachlässigt werden.

Die Vermutung, dass ab einer gewissen, in etwa mit der Planck-Skala übereinstimmenden, mikroskopischen Skala die konventionellen Gesetze der Physik ihre Gültigkeit verlieren, wird auch dadurch bestärkt, dass die Renormierungsprozesse in der Quantenfeldtheorie nur unter der Annahme wohldefiniert sind, dass die Kontinuums-Theorie nur bis zu einer mikroskopischen Skala gültig ist. Im Grunde genommen wurde diese Annahme bereits in den Zenonschen Paradoxien vorweggenommen.

Eine Theorie, welche eine Quantisierung der Raumzeit explizit durchführt, ist die Quantengeometrie von Burkhard Heim.

Experimentelle Zugänglichkeit

l_p ist ca. 10²⁰ mal kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die de Broglie-Wellenlänge der verwendeten Teilchen vergleichbar mit l_p sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit E_p. Die über E=mc² zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal größer als die Masse des schwersten bekannten Teilchens, des Top-Quarks. Ein entsprechender Beschleuniger hätte astronomische Ausmaße. Man geht jedoch davon aus, das zu Beginn des Urknalls vergleichbare Energien aufgetreten sind.

Geschichte

Max Planck, einer der Mitbegründer der Quantentheorie, entdeckte die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er stellte diese Einheiten im Mai 1899 in einer Publikation mit dem Titel "Über irreversible Strahlungsvorgänge" in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften (Band 5, S. 479, 1899) vor. Zu dieser Zeit war die Quantenmechanik noch gar nicht entdeckt. Erst im Dezember 1890 publizierte er seine Arbeit zur Theorie der Strahlung eines Schwarzen Körpers, in der erstmals die Konstante h auftauchte, und für die er den Nobelpreis für 1918 erhielt. Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte:

...ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als 'natürliche Maaßeinheiten' bezeichnet werden können...