Differentialgleichung

Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL bzw. ODE vom englischen ordinary differential equation), ist eine Gleichung, die die Funktion selbst enthalten kann, aber mindestens eine Ableitung dieser Funktion (y', y" usw.) enthält.

Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:

• in der Physik verschiedenste Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,
• in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
• in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln.

Lösungsmethodik von Differentialgleichungen

Um eine DGL zu lösen (in diesem Kontext spricht man auch von integrieren), muss eine Funktion $y$ gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiele unten) und beschäftigt die Mathematiker seit dem 17. Jahrhundert. Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab - z.B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert.

Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung

$y''+y=0\,\!$

dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung

$y=A\cos {x}+B\sin {x}\,\!$,

worin die Konstanten A, B aus den Randbedingungen folgen.

Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bezeichnet.

Nichtlineare Gleichungen können zwar nicht auf diese einfache Art zerlegt werden, doch findet man verschiedene Techniken in Formelsammlungen oder in mathematischen Computerprogrammen.

Oft werden auch Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsbereiches bestimmte Funktionswerte annehmen sollen. Diese wichtige Klasse von Problemstellungen wird unter dem Begriff Randwertprobleme (RWP) oder Randwertaufgabe (RWA) behandelt.

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind

1. gewöhnliche Differentialgleichungen (engl. ordinary differential equations, ODEs): In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf
2. partielle Differentialgleichungen (partial differential equations, PDEs): In der Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf.
3. Seltener kommen die differentiell-algebraischen Gleichungen (differential algebraic equations, DAEs) vor, bei denen zusätzlich zur Differentialgleichung noch rein algebraische Nebenbedingungen eingebracht werden.

Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x₁, x₂, ..., x_n) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen benutzt.

Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.

Beispiele von Differentialgleichungen

Im folgenden sind wichtige Differentialgleichungen aufgelistet, für die jeweils eigene Artikel existieren.

Gewöhnliche DGLen

1. Bernoulli-Gleichung
2. Besselsche Differentialgleichung
3. Clairaut-Gleichung
4. d'Alembert-Differentialgleichung
5. Euler-Bernoulli-Gleichung
6. Eulersche Differentialgleichung
7. (Euler-)Lagrange-Gleichungen
8. Hermitesches Polynom (löst bestimmte Differentialgleichungen)
9. Hillsche Differentialgleichung
10. Legendresche Differentialgleichung
11. Riccati-Gleichung
12. Sturm-Liouville-Randwertaufgabe
13. Hypergeometrische Differentialgleichung

Partielle DGLen

1. Beltrami-Gleichung
2. Dirac-Gleichung
3. Einsteinsche Feldgleichungen
4. Fokker-Planck-Gleichung
5. Helmholtz-Gleichung
6. Klein-Gordon-Gleichung
7. Korteweg-de Vries Gleichung
8. Kolmogorov-Gleichung
9. Laplace-Gleichung
10. Liouville-Gleichung
11. Maxwell Gleichungen
12. Navier Stokes Gleichungen
13. Pauli-Gleichung
14. Poisson-Gleichung
15. Schrödingergleichung
16. Telegraphen-Gleichung
17. Wärmeleitungsgleichung
18. Wellengleichung

Siehe auch

• Integralgleichung, dynamisches System, Chaostheorie, Harmonische Schwingung, Stochastische Differentialgleichung
• Anfangswertproblem, Randwertproblem

Literatur

• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
• B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X