Lorenz-Kurve
Allgemeines
Die Lorenz-Kurve (auch Lorenzkurve) wurde von Max Otto Lorenz zur grafischen Darstellung von statistischen Verteilungen und der Veranschaulichung des Ausmaßes an Ungleichheit entwickelt.
Angewendet auf die Einkommensverteilung einer Bevölkerung lässt sich mithilfe dieser grafischen Darstellung beispielsweise auf einfache Weise ablesen, wie viel Prozent der Haushalte wie viel Prozent der Einkommen beziehen. Alle Haushalte zusammen sind 100% und beziehen insgesamt 100% des Gesamteinkommens. Diese 100% der Haushalte werden in beliebig viele Abschnitte unterteilt, beispielsweise in 10%, 20%, 30% bis zum letzten Punkt 100%. Anmerkung: Für vorgegebene Verteilungen können ggf. andere Unterteilungen zweckmäßig sein. Nun wird bestimmt, wie viel Prozent des Gesamteinkommens auf den Bereich der Haushalte 0% bis 10%, 0% bis 20%, 0% bis 30% usw. bis zum Bereich 0% bis 100% entfallen. Zwei Punkte liegen immer fest: 0% der Haushalte haben natürlich 0% des Einkommens und die 100% der Haushalte haben natürlich 100% des Einkommens.
Sind die Einkommen dabei völlig gleichverteilt, so besitzen 10% der Haushalte 10% des Gesamteinkommens, folglich besitzen 20% der Haushalte 20% des Einkommens, 30% besitzen 30% usw. bis 100% besitzen 100%. Verbindet man die Punkte entsteht eine Gerade im 45°-Winkel (die grüne Gerade in der nachfolgenden Abbildung). Dabei kann man die Punktdichte auch größer machen (1%, 2%, 3% usw.) - es bleibt die grüne Gerade.
Eine Gleichverteilung ist in der Praxis selten. Oftmals sind zum Beispiel Einkommen ungleich verteilt, wodurch eine eckige Kurve abweichend von der grünen Geraden eintritt. Können sehr viele Punkte genommen werden, so entsteht eine glatte Kurve, die gerundet ist (z.B. könnten 80 % der Haushalte nur 40 % aller Einkommen beziehen). Nach den Forderungen der Lorenzkurve muss man die Haushalte nach dem Einkommen aufsteigend sortieren (siehe Gini-Koeffizient), damit eine monotone Kurve unterhalb der grünen Gleichverteilungsgeraden eintritt. Die Einkommensunterschiede einer Gesellschaft sind umso größer, je stärker die Kurve von der Gleichverteilungsgeraden abweicht.
Eigenschaften der Lorenz-Kurve
Für sehr viele statistische Einheiten ergibt sich bei vollständiger Konzentration nahezu ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten (0%|0%), (100%|100%) und (100%|0%).
Die Lorenzkurve hat vier weitere charakteristische Eigenschaften:
- Sie beginnt bei (0%|0%) und endet bei (100%|100%).
- sie verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen,
- sie ist monoton steigend
- und sie ist konvex.
Diese Eigenschaften müssen auch von einer Approximation erfüllt werden. Eine Funktion, die eine dieser Eigenschaften verletzt, kann keine Näherung für das Problem sein.
Anwendungsgebiete
Neben der Illustration der Einkommensverteilung wird die Lorenz-Kurve auch zur Darstellung von Marktmacht (Konzentrationsverteilung, beispielsweise gemessen an Unternehmensumsätzen) oder räumlichen Verteilungen verwendet (vergleiche Segregation).
Siehe auch: Gini-Koeffizient