Planck-Konstante

Das plancksche Wirkungsquantum h ist eine physikalische Konstante, die in der Quantenphysik verwendet wird. h tritt stets als Proportionalitätskonstante in den Gleichungen für messbaren Größen (sogenannte Observable) auf, die nur bestimmte Werte annehmen können. Beispielsweise tritt die Energie eines Lichtstrahls konstanter Frequenz ν nur in ganzzahligen Vielfachen von hν auf, also

$E=n\cdot h\nu \quad mit\quad n=1,2,3,...$.

Die Energie ist also quantisiert, die kleinstmögliche Energie ist hier E=hν.

Der Wert von h ist sehr klein, er beträgt näherungsweise

h = 6,6261·10^-34 Js

h wird Wirkungsquantum genannt, weil es die Dimension einer Wirkung (Energie mal Zeit) hat. Das Produkt von Impuls und Abstand hat dieselbe Einheit, so dass das Quantum auch dieselbe Diemension wie der Drehimpuls hat.

Von der Wärmestrahlung zur Quantenmechanik

h wird ursprünglich von Max Planck bei Betrachtungen zur Wärmestrahlung im Jahre 1900 in der Gleichung

$E=h\nu$

verwendet. Es ist hier die Proportionalitätskonstante der Energie einer elektromagnetischen Welle mit der Frequenz $\nu$.

In der Planck'schen Ableitung einer Gleichung für die Strahlung treten nur bestimmte Energien auf, das erste Anzeichen einer Quantisierung wird sichtbar. Bei Planck wird die Gleichung aber als Eigenschaft der Strahlung in einem Resonator betrachtet.

Albert Einstein wendet die Formel 1905 auf den photoelektrischen Effekt an und interpretiert Licht (das eine elektromagnetische Welle darstellt) als Teilchen. Nach ihm beschreibt die Formel die Energie eines Lichtteilchens (Photons) der Frequenz $\nu$. Einstein betrachtet erstmals die Gleichung als Eigenschaft des Lichts selbst.

In dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell ergeben sich für die Drehimpulse der Elektronen nur ganzzahlige Vielfache von ħ=h/(2π).

Louis de Broglie schreibt Teilchen wie Elektronen im Jahr 1924 Welleneigenschaften zu. Er verknüpft den Impuls p mit der Wellenlänge $\lambda$. Seine Beziehung gilt für alle Teilchen, auch für Photonen:

$p={\frac {h}{\lambda }}$

In der in den 1920er Jahren entwickelten Quantenmechanik kommt dem Wirkungsquantum dann eine allgemeine Bedeutung zu. Es tritt z. B. im Impulsoperator und Energieoperator in der Schrödingergleichung, der fundamentalen Gleichung dieser Theorie, auf.

Die Diracsche Konstante

Die Abkürzung

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$

(sprich "h-quer") mit der Kreiszahl Pi tritt im Zusammenhang mit dem Drehimpuls und Spin auf. $\hbar$ wird manchmal auch als Dirac'sche Konstante nach Paul Dirac bezeichnet.

Der Betrag des Drehimpulses ${\vec {l}}$ jedes Systems in jedem beliebigen Inertialsystem ist, entgegen dem veralteten Bohrschen Atommodell, kein ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$. Jedoch tritt $\hbar$ weiterhin als Proportionalitätskonstante in einer einfachen Relation auf:

$|{\vec {l}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar$

Die Bahndrehimpulsquantenzahl l kann ganzzahlige Werte von 0 bis n-1 annehmen, wobei n die Hauptquantenzahl ist. Für die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse gilt allerdings, dass deren Betrag ein ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$ ist. Kommt der Spin ins Spiel, können die Quantenzahlen auch halbzahlige Werte annehmen.

Die Dirac'sche Konstante taucht auch in der Heisenbergschen Unschärferelation auf. Manchmal wird $\hbar$ deshalb als die fundamentalere Konstante angesehen.

Häufig ersetzt man die Frequenz $\nu$ durch die Kreisfrequenz $\omega =2\pi \nu$. Dann wird $E=h\nu$ zu

$E=\hbar \omega$

Ebenso kann man die Wellenlänge $\lambda$ durch den Betrag des Wellenzahlvektor ${\vec {k}}$ einer ebenen Welle mittels $k=2\pi /\lambda$ ausdrücken und erhält aus der de Broglie Beziehung für den Impuls:

${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$

Die Richtung des Impulses entspricht dabei der Richtung des Wellenvektors (Ausbreitungsrichtung der Welle).