Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet.

In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie:

y = 2x + 3 oder y = x².

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach zwei wichtige Eigenschaften:

1. Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird ein y-Wert zugeordnet

2. Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird nur ein y-Wert zugeordnet.

Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung.

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt:

Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat:

• f ist eine Teilmenge von A × B, also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt.
• zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist.

Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert:

Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt.

Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen

• $f\colon A\to B$
  (bzw. f: A -> B im Textmodus) statt $f\subseteq A\times B$,

  "Funktion f von A nach B"

• $f\colon x\mapsto f(x)$
  (bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt $(x,y)\in f$.

  "x wird abgebildet auf f von x"

  "x wird f-von-x zugeordnet"

  "y ist f von x".

Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Funktionen werden häufig grafisch als Funktionsgraph dargestellt. Bei stetigen Funktionen von R nach R ist das der Weg, der aus allen Punkten besteht, die der Funktionsgleichung genügen.

Beispiele

Die Normalparabel: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;x\mapsto f(x)=x^{2}$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\;\;x\mapsto s(x)=x+1$

Wichtige Begriffe

• Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
• Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
• Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt auch Faser von y.
• Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
• Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
• Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
• Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereich von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

• Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
• Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
• Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
• Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
• Es heißt eine zweistellige Funktion f kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften von Funktionen, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

• Beschränktheit
• Differenzierbarkeit
• Glattheit
• Integrierbarkeit
• Konvergenz
• Monotonie
• Stetigkeit
• konvexe Funktion
• holomorphe Funktion

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Algebraische Funktionen

• algebraische Funktion
  • homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  • allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
  • Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  • Potenzfunktion
  • Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
    $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}$
  • Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  • Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke

Analytische Funktionen

• analytische Funktion
• elementare Transzendente Funktionen
  • Exponentialfunktion
  • Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
  • Logarithmus
  • Kreis- und Hyperbelfunktionen
    • Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
    • Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth
    • Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot
    • Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth
• Spezielle Funktionen
  • Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  • Elliptische Funktion
  • Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  • Bessel-Funktion
  • Legendre-Polynome
  • Kugelflächenfunktionen
  • Harmonische Funktion
  • Hurwitzpolynom
• sonstige Funktionen
  • Logistische Funktion
  • Gaußsche Glockenkurve
  • Lorentzkurve
  • Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind

• Betragsfunktion
• Maximumfunktion und Minimumfunktion
• Gaußsche Ganzzahlfunktion
• Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen

• Charakteristische Funktion
• Vorzeichenfunktion
• Primitiv-rekursive Funktion
• Ackermannfunktion
• Phifunktion
• Zahlentheoretische Funktion
• Deltafunktion
• Fehlerfunktion
• Lokal konstante Funktion

Siehe auch

• Diagramm
• Logarithmische Darstellung
• Funktionsschar
• Mathematik für die Schule
• Satz von der impliziten Funktion
• Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes.

Weblinks

• Schöner Funktionsplotter als Java-Applet
• Programm zur gleichzeitigen Darstellung mehrerer Funktionen