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Primzahl

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Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene positive Teiler hat, nämlich 1 und die Zahl p selbst. So sind z.B. die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11 Primzahlen, die Zahl 10 jedoch nicht, weil sie 4 positive Teiler besitzt (1, 2, 5, 10). Eine Zahl, die größer als 1 und nicht Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs Primzahl auf beliebige Ringe ist der Begriff des Primelementes. Zum Beispiel sind in den ganzen Zahlen auch die Negativen der Primzahlen Primelemente.

Mit Ausnahme der 2 sind alle Primzahlen ungerade, denn alle geraden Zahlen lassen sich ja durch 2 teilen. Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, die beide Primzahlen sind, heißen Primzahlzwillinge, z.B. 11 und 13.

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (siehe Primfaktorzerlegung), die in dieser Darstellung auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl.

Primzahlen spielen eine wichtige Rolle unter anderem in der Kryptologie. Einige Verschlüsselungssysteme basieren darauf, dass man zwar relativ schnell große Primzahlen erzeugen und mit ihnen rechnen kann, dass es aber (noch) kein schnelles Verfahren gibt, um große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen (große Zahlen sind Zahlen mit mehr als hundert Stellen).

Größte Primzahl

Da unendlich viele Primzahlen existieren, gibt es keine größte, wie der Satz von Euklid zeigt.

Die derzeit größte bekannte Primzahl ist , eine Zahl mit 6.320.430 Dezimalstellen, gefunden im November 2003. Für den ersten Primzahlbeweis einer Zahl mit mehr als 10 Millionen Stellen hat die Electronic Frontier Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar ausgeschrieben.

Verfahren zum Nachweis von Primzahlen

Spezielle Primzahlen

Warum ist die 1 keine Primzahl?

  • Antwort 1: Weil 1 eine Einheit ist (siehe Primelement).
  • Antwort 2: Damit man eine eindeutige Primfaktorenzerlegung bekommt (man hätte sonst beliebig viele 1-Faktoren mit drin).
  • Antwort 3: Aus der Definition heraus: 1 hat nur einen positiven Teiler (die 1). Eine natürliche Zahl ist genau dann Primzahl, wenn sie genau 2 positive Teiler hat.
  • Antwort 4: Weil man ansonsten bei nahezu allen Aussagen über Primzahlen schreiben müsste: "Für alle Primzahlen mit Ausnahme der 1 gilt...". Beispielsweise in der Theorie der endlichen Körper.

Siehe auch: Primzahlsatz, Sieb des Eratosthenes, Ungelöste Probleme der Mathematik

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