Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen X. In der elementaren Algebra identifiziert man diese formale Summe mit einer Funktion in X (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesen beiden Begriffen.

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Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form

$f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0},$

wobei die Koeffizienten a_i aus einem Ring R stammen und X ein formales Symbol ist.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden koeffizientenweise addiert und die Multiplikation ergibt sich mit dem Distributivgesetz aus den Regeln

X · a = a · X für a aus R

X^m · Xⁿ = X^m+n für natürliche Zahlen m,n.

Stellt man Polynome durch die Folge ihrer Koeffizienten dar, dann ist das Produkt zweier Polynome die Faltung ihrer Koeffizientenfolgen.

Polynomfunktion

Indem man an Stelle von $X$ ein Element $x$ des Rings $R$ einsetzt, erhält man ein Element $f(x)$ von $R$ als Bild. Diese Zuordnung $x\mapsto f(x)$ ist eine Funktion von $R$ nach $R$, die von $f$ induzierte Funktion, eine Polynomfunktion.

In den Formeln wird dieser Unterschied nicht deutlich; meist schreibt man jedoch Unbestimmte als Großbuchstaben und Ringelemente als Kleinbuchstaben.

Die Unterscheidung ist jedoch wichtig, weil verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise $R$ der Restklassenring $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, so induzieren die beiden Polynome

$f(X)=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X$

und

$g(X)=0$

beide die Nullfunktion

$f(x)=g(x)=0$ für alle $x\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}$.

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsbereich ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Polynomring

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R[X]. Sie ist mit der oben angegebenen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Polynomring über R .

Auch die Menge der Polynomfunktionen über dem Ring R bildet einen Ring, der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring.

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a_ijx_i^j als Polynom:

$P(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})=\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}^{j}$

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X₁ bis X_n über dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als R[X₁, ..., X_n].

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

$f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$

über, erhält man formale Potenzreihen.

Lässt man auch negative Exponenten zu:

$f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}$

dann erhält man formale Laurentreihen.

Siehe auch

• Polynominterpolation
• Polynomdivision
• Cardanische Formeln