Logarithmus

Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion (Formelzeichen "log"). Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (abgekürzt "exp").

Sowohl Exponentialfunktion als auch Logarithmus sind immer durch eine bestimmte, im folgenden a genannte Basis definiert, und hängen dann über folgende Beziehung zusammen:

Wenn y = a^x dann ist x = log_a(y).

Man sieht, dass der Logarithmus für 0 und negative Zahlen nicht definiert ist. (In der Funktionentheorie, in der Funktionen Komplexer Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren.)

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie

pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i.a. am vorangestellten p erkennen, z.B. beim pKs- oder pKb-Wert)

dB (Dezibel) z.B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung

bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge.

Der Logarithmus einer Zahl x zu einer Basis b gibt in gewisser Weise an, wieviele Stellen diese Zahl hat. Beispielsweise ist

log₁₀(1) = 0 weil 10⁰ = 1

log₁₀(10) = 1 weil 10¹ = 10

log₁₀(100) = 2 weil 10² = 100

log₁₀(1000) = 3 weil 10³ = 1000

etc.

Man nennt diesen ganzzahligen Wert auch Kennzahl. Im Normalfall tauchen auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log₁₀(3*10) = log₁₀(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (Napier)oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit "ln" abgekürzt:

Wenn y = e^x dann ist x = log_e(y) = ln(y).

Man spricht vom Natürlichen Logarithmus, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differenzialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach Integrieren und Differenzieren.

Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit "lg" abgekürzt, der zur Basis 2 mit "lb" (binärer Logarithmus, dualer oder dyadischer Logarithmus).

Graph des Logarithmus zur Basis 2

Abkürzungen

• log_a: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
• ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e
• lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10
• lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen:

log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i.a. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel

log₁₀(8) = log₂(8) / log₂(10) ≈ ca. 3 / 3,32 ≈ ca. 0,90

Rechenregeln mit Beispiel

log_b(u*v) = log_b(u)+log_b(v)

log₁₀(10*100) = log₁₀(10)+log₁₀(100) = 1+2 = 3

log_b(u/v) = log_b(u)-log_b(v)

log₁₀(100/10) = log₁₀(100)-log₁₀(10) = 2-1 = 1

log_b(u^z) = z*log_b(u)

log₁₀(100²) = 2*log₁₀(100) = 2*2 = 4

log_b (u^1/z) = log_b(z√u) = 1/z * log_b(u)

log₁₀(2√100) = 1/2*log₁₀(100) = 1/2*2 = 1

log_a(1) = 0

log₁₀(1) = 0

log_a(a) = 1

log₁₀(10) = 1

log_a(1/x) = -log_a(x)

log₁₀(1/100) = -log₁₀(100) = -2

Interdisziplinäres

• In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z.B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
• Zeitskalen werden vom Menschen logarithmisch wahrgenommen. Das bedeutet, dass sich - zumindest subjektiv in den letzten 100 Jahren ebensoviel ereignet hat wie in den 900 Jahren zuvor. Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala

Weblinks

Logarithmusrechner mit Quelltext

http://iva.uni-ulm.de/physik/REPETITORIUM/MATHEMATIK/2/02.html

http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/log.htm