Benutzer:Hederich/Folge

Informale Definitionen

Die folgenden Sätze a bis i dienen lediglich zur kurzen Formulierung der nachstehenden Vorschläge zur Einleitung des Folgeartikels. Sie geben für sich noch keinen Sinn.

a	Eine Folge ist eine in ihrer Anordnung festgelegte endliche oder unendliche Auflistung mathematischer Objekte
a⁺	Eine Folge ist eine in ihrer Anordnung festgelegte endliche oder unendliche Auflistung fortlaufend nummerierter mathematischer Objekte
b	Eine Folge besteht aus endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten mathematischen Objekten
c	wobei die Nummerierung mit Eins beginnt
c⁺	wobei die Nummerierung mit einer ganzen Zahl k beginnt
d	Dasselbe Objekt kann mehrfach auftreten
e	Das an i-ter Stelle der Auflistung stehende Objekt heißt i-tes Glied der Folge
f	Das Objekt mit der Nummer i heißt i-tes Glied der Folge
g	Hat eine endlichen Folgen ein n-tes, aber kein (n+1)-tes Glied, dann wird n die Länge der Folge genannt und man nennt sie n-gliedrig oder n-Tupel
g⁺	Hat eine endlichen Folgen ein n-tes, aber kein (n+1)-tes Glied dann wird n-(k-1) die Länge der Folge genannt und man nennt sie n-gliedrig oder, wenn k = 1 auch n-Tupel
h	Ist k ≠ 1, dann ist zwischen dem an i-ter Stelle der Auflistung stehenden Objekt und dem i-tem Glied zu unterscheiden
i	Aus formalen Gründen spricht man auch von einer Folge ohne Glieder und nennt sie leere oder 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel

Vorschläge

Mit den Vorschlägen wird versucht, möglichst eindeutig und verständlich die weiter unten angegebenen üblichen formalen Definitionen des Folge-Begriffs zu erfassen. Außerdem nehmen sie weitgehend die Vorstellungen der Artikel-Autoren auf.

Die formale Definition A lautet informal so: a. d. e. g. i.
Die formale Definition B lautet informal 1. so: b, c. d. f. g. i. oder 2. so: a⁺, c. d. e. g. i. oder 3. so: a⁺, c. d. f. g. i.
Die formale Definition C lautet informal 1. so: b, c⁺. d. f. g⁺. h. i. oder 2. so: a⁺, c⁺. d. f. g⁺. h. i.

Formale Definitionen

Die nachstehenden Definitionen sind nicht als Vorschläge für das Kapitel Formale Definition im Folge-Artikel gedacht, vielmehr sollen sie die obigen Einleitungs-Vorschläge dem Mathematiker verständlich machen.

Definition A: (Folge als Auflistung)

Eine n-gliedrige Folge F ist so definiert:

n = 0: F := {}

n > 0: F := {f, {x}}, wobei f eine (n-1)-gliedrige Folge ist. f und x heißen Rumpf bzw. Kopf von F.

Das i-te Glied, g, einer n-gliedrigen Folge F i,n > 0, i ≤ n ist so definiert:

i = n: g := Kopf von F

i < n: g := (i-1)-tes Glied vom Rumpf von F.

Eine unendliche Folge ist eine Menge endlicher Folgen. Jedes Element ist Rumpf eines anderen Elementes. Sie enthält keine zwei verschiedenen Elemente gleicher Länge.

Das n-te Glied, n > 0, einer unendlichen Folge F ist der Kopf der n-gliedrigen Folge in F.

Definition B: (Folge als nummerierte Objekte)

Eine n-gliedrige Folge F ist so definiert:

n = 0: F := {}

n > 0: F := Funktion mit Definitionsmenge {1, ... n}

Eine unendliche Folge ist eine Funktion mit der Menge der positiven ganzen Zahlen als Definitionsmenge.

Definition C mit Nummerierungsbeginn k: (ebenso)

Eine n-gliedrige Folge F ist so definiert:

n = 0: F := {}

n > 0: F := Funktion mit Definitionsmenge {k, ... n+(k-1)}

Eine unendliche Folge ist eine Funktion mit der Menge der ganzen Zahlen ≥ k als Definitionsmenge.