Diskussion:Euklidischer Raum

Moderne Definition des Euklidischen Raumes

Der Text ist ein wenig wirr. Soll der so stehen bleiben? --NeoUrfahraner 13:01, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich denke diese Strukturierung ist passender. Fals irgendetwas nicht gut formuliert ist, schreib bitte. ps: es war mein erster Versuch 19:00, 1. Apr 2005

Deine Notation ist irgendwie anders als bei Mathematikern üblich. Bist Du Physiker? Außerdem gibt es die Artikel Dualraum, Skalarprodukt und Prähilbertraum, da ergeben sich jedenfalls Überlappungen und Widersprüche. --NeoUrfahraner 19:43, 1. Apr 2005 (CEST)

Diese Notationen finden zwar kaum Anwendungen sind aber bei hoher Mathematik gang und gäbe. Ich nenne nur mal zwei Quellen in denen diese Form explizit verwendet wird und zwar von Mathematikern!!!

Tensoren und Felder von prof. dr.Hans jörg Dirschmid dies findest du in jeder Uni-Bibliothek und Duden Rechnen und Mathematik Dort wird auch auf die alten Formen hingewiesen, die wie auch erwähnt nicht ganz allgemein sind.

Mir ist bewusst das es überlappungen gibt, aber ich war der Meinung das es wichtig ist auch die pinibl genaue Definition zu erwähnen und auf den Unterschied/Fehler in der alten hinzuweisen.

ps: auch bei anderen Räumen spricht man von Skalarprodukten aber nicht von inneren Produkten!!! Und ich bin kein Physiker sondern Schüler. Befasse mich aber seit der 9.Klasse intensiv mit der linearen Algebra und der Relativitätstheorie. (hab bei dem Thema auch meinen ps: guten Lehrer befragt und der war auch der Meinung) 20:05 1. Apr 2005

Nun, Friedman, "Foundations of Modern Analysis" sowie auch Dunford und Schwartz, "Linear Operators" verwenden "Skalarprodukt" und "Inneres Produkt" synonym. Wie dem auch sei, Du verwendest bei der Definition des Skalarprodukts den Dualraum, ohne vorher den Dualraum definiert zu haben. Das ist jedenfalls verwirrend. Außerdem hat der Dualraum (der ja für jeden Vektorraum existiert), wie Du selber schreibst, mit Euklidischem Raum nichts zu tun. Was Du schreiben willst, steht, so weit ich es sehe, weitgehend in Prähilbertraum, wobei zugegebenermaßen die Abgrenzung zwischen den Artikeln Euklidischer Raum und Prähilbertraum derzeit nicht wirklich klar ist.--NeoUrfahraner 20:22, 1. Apr 2005 (CEST)

Ein Dualraum kann direckt über das Skalarprodukt definiert werden, wie ich geschrieben habe. Außerdem sind in den von dir gennanten Bücher die Unterschiede nicht relevant, da sie nicht über Gauß hinausführen. Ein anderes Beispiel: Einem Tensor kontravarianter und kovarianter Stufe existiert auf allgemeinen Räumen und verwenden Skalarprodukte und Dualräume. Genaugenommen ist ja auch in Prähilbertraum ein Fehler. Dort ist ein inneres Produkt definit was aber bei der Allgemeinheit nicht der Fall sein kann, denn der Minkowski-Raum hat kein indefinites inneres Produkt.

Zum Thema Themaverfehlung ich wollte den Unterschied zwischen genauer und ungenauer Definition klar machen und deswegen war das erwähnen eines Skalarproduktes unumgänglich.

ps:ein Prähilbertraum ist eine noch allgemeinere Form des euklidischen Raumes noch allgemeiner ist die Riemannsche Geometrie 21:01 1. Apr. 2005

Du hast ja $V^{*}$ bei der Definition des Skalarprodukts verwendet; Deine Definition ist zirkulär. Steht das wirklich so im Buch von Dirschmid? Was soll heißen, dass Friedman sowie Dunford/Schwartz "nicht über Gauß hinausführen"? --NeoUrfahraner 21:05, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich hab nur das Symbol verwendet ich hätte auch U schreiben können und es später zu V* ersetzen doch dies schien zu umständlich. 21:07 1.apr 2005 In diesen Schriften wäre, wie auch in der euklidischen Theorie der unterschied nicht relevant aber mathematisch nicht ganz genau.21:10 1.Apr 2005

Was steht jetzt *wirklich* im Buch von Dirschmid? --NeoUrfahraner 21:18, 1. Apr 2005 (CEST)

Man geht von der nicht-ausgearteten Bilinearform (Skalarprodukt) auf U und V aus. Durch eine Rechnung findet man die Eindeutigkeit von U und führt für diesen Raum das Symbol V* ein. Damit ist der Dualraum über ein Skalarprodukt definiert.21:25 1.apr 2005

Wenn du hier ernsthaft mitarbeiten möchtest, dann solltest du dir erstmal einen Benutzernamen zulegen. Die Unterschrift mit der Uhrzeit musst du übrigens nicht per Hand eingeben, es reicht dafür ~~~~ einzugeben. Wenn du das als angemeldeter Benutzer machst, dann wird auch automatisch dein Benutzername eingefügt.

Zum Schreibstil: Die Wikipedia ist eine Enzyklopädie. Das bedeutet, dass die Artikel möglichst so allgemeinverständlich wie möglich abgefasst werden sollten, und dass versucht werden sollte, die Notation möglichst einheitlich zu halten.

Konkreter: Lass das \mathsf weg, das wird sonst auch nirgends benutzt. Verlinke zu vorhandenen Beiträgen (mit [[ ... ]]). In diesem Fall fehlt mir z.B. ein Link auf Dualraum. Versuche, den Begriff Dualraum mit der Erklärungsseite konform zu benutzen. Führe nicht mit Gewalt einen neuen Bezeichner für das Skalarprodukt ein, wenn der übliche Bezeichner genauso ausreichen würde.

Inhaltlich: Die Gleichung $V=V^{**}$ zweifle ich an. Die beiden Räume sind bestenfalls isomorph, aber nicht gleich. Der Schreibstil weiter unten entspricht nicht dem üblichen und ist häufig ungenau. Beispielsweise ist nicht $\psi (x)$ indefinit, sondern die Abbildung $\psi$. Es müsste auch irgendwo mal etwas in der Form stehen: "Ein euklidischer Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Abbildung...", um überhaupt einen Bezug zwischen dem Skalarprodukt, von dem du schreibst, und der Definition herzustellen. Überhaupt erscheint mir die Definition nicht ganz koscher, und Motivation bzw. Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Definitionen fehlen auch.--MKI 21:30, 1. Apr 2005 (CEST)

ich will mich nicht anmelden, da ich dies als einen enmaligen Eintrag sehe. Wenn ich \mathsf nicht benutze sieht es nicht einhaltlich aus. Außerdem steht es mir doch frei dies zu benutzen zu was sollte es dann eingegeben sein? Bei dem inhaltlichen gebe ich dir recht, wobei ich einfach nicht genug darauf geachtet habe. Die Einführung dieser Notation ist für viele Räume nicht relevant aber nicht für alle siehe Dirschmid.Zu"Ein euklidischer Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Abbildung..." ich will ja die verschiedenheiten der Definitionen darstellen und bringe sie ja später in Beziehung. Allerdings steht in diesem Buch:V** wird mit V identifiziert. Es wird sogar von der Gleichheit der Basen geredet.217.93.173.93 21:47, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich schiebe noch schnell den Beweis , in der ich die Gleichheit sehe. $\left\langle \alpha ;x\right\rangle :V\times V^{*}\longrightarrow K$ und damit ist $\left\langle x;\alpha \right\rangle _{*}=\left\langle \alpha ;x\right\rangle$ ein Skalarprodukt und V und V** müssen gleich sein.217.93.173.93 22:09, 1. Apr 2005 (CEST)

Mir ist nicht bekannt, wie der Dirschmid den Dualraum einführt. Allgemein üblich ist es aber, dass $V^{*}$ die Menge der Linearformen eines Vektorraums $V$ bezeichnet, und dann ist $V$ und $V^{**}$ nicht dasselbe.--MKI 22:20, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich würde gerne wissen was ich jetzt machen soll (Andere Definition vom Skalarprodukt). Der Beweis oben geht über die Linearform denn in Dirschmid steht: $\left\langle \alpha ;x\right\rangle =\alpha (x)$ wenn alpha fest ist. 217.93.173.93 22:35, 1. Apr 2005 (CEST)

Erstmal eine sprachliche Anmerkung: Wenn der Dirschmid schreibt V** wird mit V identifiziert, dann spricht das dafür, dass die beiden Räume zunächst einmal nicht gleich sind, denn sonst müsste man auch nichts extra miteinander identifizieren. Die angedeutete Identifikation läuft über den Isomorphismus, der existiert, da die beiden Räume in unserem Fall isomorph sind.

Der K-Vektorraum V ist eine Menge von Vektoren. V* wird aus V gebildet, indem man die Menge aller linearen Abbildungen V->K bildet (dein letzter Beitrag sieht so aus, als ob das auch beim Dirschmid so gemacht wird.). Also wird V** aus V* gebildet, indem man die Menge aller linearen Abbildungen V*->K bildet, also die Menge aller linearen Abbildungen, die eine lineare Abbildung V->K auf ein Element von K abbilden. Das heißt, dass V und V** verschiedene Mengen sind (die eine enthält Vektoren aus V, die andere lineare Abbildungen, die eine lineare Abbildung V->K auf ein Element von K abbilden). Damit können V und V** nicht gleich sein.

Wenn noch Diskussionsbedarf besteht, dann schreib bitte zuerst die Definition des Dualraums her, die du verwendest, damit eine gemeinsame Diskussionsgrundlage gegeben ist.--MKI 23:11, 1. Apr 2005 (CEST)