Komplement (Mengenlehre)

Das Komplement ist ein Begriff aus der Mengenlehre der Mathematik. Hat man eine Teilmenge $A$ von einer Menge $U$, so besteht das Komplement von $A$ in $U$ genau aus den Elementen in $U$, die nicht in $A$ liegen.

Wenn die Obermenge $U$ fest steht (so werden zum Beispiel in der Theorie der formalen Sprachen immer Teilmengen der Menge aller Wörter über einem Alphabet betrachtet), wird das "Komplement von $A$ in $U$" auch kurz als das "Komplement von $A$" bezeichnet. Als Schreibweisen dafür sind $A^{\complement }$ und ${\overline {A}}$ gebräuchlich.

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Das Komplement von A in U

Formale Definition

Sei $A$ einen Teilmenge von $U$ ($A\subseteq U$). Dann gilt:

$A^{\complement }$ ist das Komplement von $A$ in $U$:

$\Leftrightarrow$ Für alle $a\in A$ und $b\in A^{\complement }$ gilt: $a\neq b$ ($A$ und $A^{\complement }$ sind also disjunkt, d.h. $A\cap A^{\complement }=\emptyset$)

und

$A\cup A^{\complement }=U$.

Rechenregeln

Seien im folgenden $A$ und $B$ Teilmengen der gemeinsamen Obermenge $U$.

Es gelten die De Morganschen Regeln:

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

Das Komplement ist weiterhin eine Involution, es gilt also:

$(A^{\complement })^{\complement }=A$