Dreiecksungleichung

In der Mathematik ist die Dreiecksungleichung ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. In leicht veränderter Form spielt sie in vielen anderen Teilgebieten wie z. B. der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle und zählt zu den wichtigsten mathematischen Theoremen. Auf einer 1999 veröffentlichten Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze ist sie auf Platz 91 gereiht.

Formen der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung für Dreiecke

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets größer oder gleich der Länge der dritten Seite c. Das heißt formal:

$c\leq a+b$

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner oder gleich dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“ (Was die Aussage im Grunde jedoch nicht korrekt wiedergibt. Korrekt müsste es lauten: „Es gibt keinen kürzeren Weg als den direkten.“)

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn a, b und c in die gleiche Richtung weisen, d. h. wenn a und b Teilstrecken von c sind.

Da aus Symmetriegründen auch $a\leq c+b$ gilt, folgt $a-b\leq c$, analog erhält man $b-a\leq c$, insgesamt also

$\left|a-b\right|\leq c\leq a+b$.

Die linke Ungleichung $\left|a-b\right|\leq c$ wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.

Dreiecksungleichung für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen gilt: $|a+b|\leq |a|{+}|b|.$

Beweis

Weil beide Seiten der Ungleichung nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

$a^{2}{+}2ab{+}b^{2}\ \leq \ a^{2}{+}2{|ab|}{+}b^{2}.$

Durch Streichen identischer Terme gelangen wir zur äquivalenten Ungleichung

$2ab\leq 2|ab|.$

Diese Ungleichung gilt, weil $x\leq {|x|}$ für beliebige $x\in \mathbb {R} .$

Wie beim Dreieck lässt sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten:

Es gilt $|a{+}b|{-}|b|\leq |a|.$ Einsetzen von $a{\mathrel {:=\,}}x{+}y,\,b{\mathrel {:=\,}}{-}y$ gibt

$|x|{-}|y|\leq |x{+}y|,$

setzt man stattdessen $b{\mathrel {:=\,}}{-}x$ so ergibt sich

$|y|{-}|x|\leq |x{+}y|,$

zusammen also (denn aus $u\leq c$ und ${-}u\leq c$ folgt $|u|\leq c)$

${\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{+}y|\leq |x|{+}|y|.$

Ersetzt man $y$ durch ${-}y,$ so erhält man auch

${\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{-}y|\leq |x|{+}|y|.$

Insgesamt also

${\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{\pm }y|\leq |x|{+}|y|$ für alle $x,\,y\in \mathbb {R} .$

Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gilt:

$|z_{1}{}+z_{2}|\leq |z_{1}|{+}|z_{2}|.$

Beweis

Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

$z_{1}{\overline {z_{1}}}{+}z_{1}{\overline {z_{2}}}{+}{\underbrace {{\overline {z_{1}}}z_{2}} _{={\overline {z_{1}{\overline {z_{2}}}}}}}{+}z_{2}{\overline {z_{2}}}\ \leq \ z_{1}{\overline {z_{1}}}{+}2{\underbrace {|z_{1}z_{2}|} _{=|z_{1}{\overline {z_{2}}}|}}{+}z_{2}{\overline {z_{2}}},$

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt $z{\mathrel {:=\,}}z_{1}{\overline {z_{2}}},$ so bleibt

$z{+}{\bar {z}}\leq 2{|z|}$

zu zeigen. Mit $z=u{+}iv$ erhält man

$(u{+}iv){+}(u{-}iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}{+}v^{2}}}$

bzw.

$|u|\leq {\sqrt {u^{2}{+}v^{2}}},$

was wegen $0\leq v^{2}\$ und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.

Analog wie im reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch

${\Big |}|z_{1}|{-}|z_{2}|{\Big |}\leq |z_{1}{\pm }z_{2}|\leq |z_{1}|{+}|z_{2}|$ für alle $z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} .$

Dreiecksungleichung für Summen und Integrale

Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$

für reelle oder komplexe Zahlen $x_{i}\;$. Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:

Ist $f:I\to {\mathbb {R}}$, wobei $I=[a,b]\,$ ein Intervall ist, Riemann-integrierbar, dann gilt

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|\leq \int _{I}|f(x)|\,dx$.

Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen $f:I\to {\mathbb {C}}$, vgl.. Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl $\alpha \;$ so, dass $\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\left|\int _{I}f\,dx\right|$ und $|\alpha |=1\;$.

Da

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\int _{I}\alpha \,f(x)\,dx=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx+i\,\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx$

reell ist, muss $\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx$ gleich Null sein. Außerdem gilt

$\operatorname {Re} (\alpha f(x))\leq |\alpha f(x)|=|f(x)|$,

insgesamt also

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx\leq \int _{I}|f(x)|\,dx$.

Dreiecksungleichung für Vektoren

Für Vektoren gilt:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$.

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

$\left|{\vec {a}}\right|^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}$

und Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

$\left|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$.

Auch hier folgt wie im reellen Fall

${\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}\pm {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$

sowie

$\left|\sum _{i=1}^{n}{\vec {a_{i}}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|{\vec {a_{i}}}\right|.$

Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke

Zwei sphärische Dreiecke

Im sphärischen Dreieck gilt die Dreiecksungleichung im allgemeinen nicht.

Sie gilt jedoch, wenn man sich jedoch auf euklidische Dreiecke, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist, beschränkt.

In nebenstehender Abbildung gilt zwar

$\left|a-b\right|\leq c_{1}\leq a+b,$

jedoch ist $c_{2}>a+b$.

Dreiecksungleichung für normierte Räume

In einem normierten Raum $\left(X,\|.\|\right)$wird die Dreiecksungleichung in der Form

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle $x,y\in X\;$erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier

${\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leq \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|$

sowie

$\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|$ fur alle $x_{i}\in X\;$.

Im Spezialfall der L^p-Räume wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Dreiecksungleichung für metrische Räume

In einem metrischen Raum $\left(X,d\right)$ wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ für alle $x,y,z\in X$ erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung $\left|d(x,z)-d(z,y)\right|\leq d(x,y)$ für alle $x,y,z\in X$ gilt. Außerdem gilt für beliebige $x_{i}\in X\;$ die Ungleichung $d(x_{0},x_{n})\leq \sum _{i=1}^{n}d(x_{i-1},x_{i})$.

Siehe auch

• Betrag
• Normierter Raum
• Ungleichungen in Vierecken