Pfaffsche Form

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Definition der Pfaffschen Form

Die Pfaffsche Form ${\vec {w}}$, auch Differentialform 1. Ordnung genannt, ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Sie ordnet jedem Punkt ${\vec {p}}$ aus einer offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ einen Cotangentialvektor ${\vec {w}}\left({\vec {p}}\right)$ zu. Das heißt:

${\vec {w}}:U\rightarrow T_{\vec {p}}^{*}\left(U\right)$

Ein Cotangentialvektor ${\vec {w}}\left({\vec {p}}\right)$ ist eine lineare Abbildung, welche die Elemente ${\vec {v}}$ des Tangentialvektorraums $T_{\vec {p}}\left(U\right)$ auf $\mathbb {R}$ abbilden.

${\vec {w}}\left({\vec {p}}\right):T_{\vec {p}}\left(U\right)\rightarrow \mathbb {R}$

Die Menge dieser linearen Abbildungen bilden einen Vektorraum mit derselben Dimension wie der Tangentialvektorraum$T_{\vec {p}}\left(U\right)$, weshalb die Menge Cotangentialvektorraum $T_{\vec {p}}^{*}\left(U\right)$ genannt wird.

Der Tangentialvektorraum $T_{\vec {p}}\left(U\right)$ bezeichnet die Menge aller Vektoren ${\vec {v}}$, die Tangentenvektoren von in U liegenden, stetig differenzierbaren Kurven am Punkt ${\vec {p}}$ sind. Da jeder beliebige Vektor ${\vec {v}}\varepsilon \mathbb {R} ^{n}$ Tangentialvektor am Punkt ${\vec {p}}$ der stetig differenzierbaren Kurve ${\vec {\phi }}\left(t\right)={\vec {p}}+t{\vec {v}}$ ist, gilt $T_{\vec {p}}\left(U\right)=\mathbb {R} ^{n}$. Die Existenz der Kurve ${\vec {\phi }}$ in $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ergibt sich daraus, dass $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge ist.

Koordinaten-Darstellung

Für jede Pfaffsche Form existiert eine Koordinaten-Darstellung:

${\vec {w}}\left({\vec {p}}\right)=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\left({\vec {p}}\right){\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {p}}\right)$ für alle ${\vec {p}}\varepsilon U$ bzw.

${\vec {w}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\overrightarrow {dx}}_{i}$.

Die Funktionen $f_{i}$ sind beliebige Abbildungen aus der offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ in den Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$, d.h. $f_{i}\left({\vec {p}}\right)\varepsilon \mathbb {R}$.

Die Differentiale ${\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {p}}\right)$ stellen jeweils Basisvektoren des Cotangentialvektorraums $T_{\vec {p}}^{*}\left(U\right)$ dar. Deshalb lässt sich jede Pfaffsche Form ${\vec {w}}$ als Entwicklung der Differentiale ${\overrightarrow {dx}}_{i}$ darstellen, d.h. für jede Pfaffsche Form existiert genau eine Koordinatendarstellung.

Sei ${\vec {e}}_{j}=\left(0,...,0,j,0,...,0\right)$ einer der Basisvektoren ${\vec {e}}_{1}$, ...,${\vec {e}}_{n}$ des Tangentialvektorraums $T_{\vec {p}}\left(U\right)$. Jede der linearen Abbildungen ${\overrightarrow {dx}}_{i}$ ist eindeutig durch das Bild der Basisvektoren ${\vec {e}}_{1}$, ...,${\vec {e}}_{n}$ definiert. Es gilt:

${\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {p}}\right)\left\{e_{j}\right\}$=$\left\langle {\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {p}}\right),{\vec {e}}_{j}\right\rangle$=$\delta _{i,j}$

Totales Differential

Das totale Differential $DF$ der stetig differenzierbaren Funktion $F:U\rightarrow \mathbb {R}$ ist eine Pfaffsche Form bzw. eine Differentialform 1. Ordnung, die definiert ist durch:

$\left\langle {\overrightarrow {DF}}\left({\vec {p}}\right),{\vec {v}}\right\rangle$=$\left\langle gradF\left({\vec {p}}\right),{\vec {v}}\right\rangle$=$\sum _{i=1}^{n}{\partial F \over \partial x_{i}}\left({\vec {p}}\right)v_{i}$

Da $v_{i}$ definiert ist durch $v_{i}=\left\langle {\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {p}}\right),{\vec {v}}\right\rangle$, gilt:

${\overrightarrow {DF}}=\sum _{i=1}^{n}{\partial F \over \partial x_{i}}{\overrightarrow {dx}}_{i}$

Kurvenintegral der Pfaffschen Form

Sei ${\vec {\varphi }}:\left[a,b\right]\rightarrow U$ eine stetig differenzierbare Kurve in $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, dann ist das Integral der Pfaffschen Form entlang der Kurve $\varphi$ definiert durch:

$\int _{\vec {\varphi }}{\vec {w}}$:=$\int _{a}^{b}\left\langle {\vec {w}}\left({\vec {\varphi }}\left(t\right)\right),{\vec {\varphi }}'\left(t\right)\right\rangle dt$ $=\int _{a}^{b}\left\langle \sum _{i=1}^{n}f_{i}\left({\vec {\varphi }}\right){\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {\varphi }}\right),{\vec {\varphi }}'\right\rangle dt=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}f_{i}\left({\vec {\varphi }}\right)\varphi '_{i}dt$

Dabei gilt für $\varphi '_{i}$=$\left\langle {\overrightarrow {dx}}_{i}\left({\vec {\varphi }}\right),{\vec {\varphi }}'\right\rangle$

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials DF gilt:

$\int _{\varphi }{\overrightarrow {DF}}$=$F\left({\vec {q}}\right)-F\left({\vec {p}}\right)$ mit ${\vec {q}}:={\vec {\varphi }}\left(b\right)$ und ${\vec {p}}:={\vec {\varphi }}\left(a\right)$

Das Integral des totalen Differentials hängt nicht von der Kurvenform sondern nur vom Anfangspunkt ${\vec {p}}$ und Endpunkt ${\vec {q}}$ der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, d.h. ${\vec {p}}$=${\vec {q}}$, ist immer gleich Null. Es gilt somit:

$\oint _{\varphi }{\overrightarrow {DF}}=0$

Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals

Für die stetig differenzierbare Kurve ${\vec {\varphi }}:\left[a,b\right]\rightarrow U$ stellt die Ableitung ${\vec {\varphi }}'\left(t\right)={d{\vec {\varphi }} \over dt}\left(t\right)$ die Steigung der Kurve jeweils am Kurvenpunkt ${\vec {x}}={\vec {\varphi }}\left(t\right)$ dar. D.h. die Ableitung stellt den Tangentenvektor am Kurvenpunkt dar.

Der Tangenten-Einheitsvektor am Punkt ${\vec {x}}$ ist definiert durch:

${\vec {\tau }}\left(x\right):={\frac {1}{\left\|{\vec {\varphi }}'\left(t\right)\right\|}}{\vec {\varphi }}'\left(t\right)$

Die Länge der Kurve ${\vec {\varphi }}$ ist gegeben durch:

$\int _{\vec {\varphi }}ds$:=$\int _{a}^{b}\left\|{\vec {\varphi }}'\left(t\right)\right\|dt$

Deshalb wird ds als Streckenelement oder Bogenelement der Kurve bezeichnet. Weder "ds" noch "dt" stellen totale Differentiale dar. Durch dt wird lediglich ausgedrückt, dass über den Kurvenparameter t integriert wird. Die Bezeichnung dt ist motiviert durch die Definition der Partialsummen des Riemann-Integrals.

Für das Kurvenintegral gilt somit:

$\int _{\vec {\varphi }}{\vec {w}}$=$\int _{a}^{b}\left\langle {\vec {w}},{\vec {\tau }}\right\rangle ds$

$\left\langle {\vec {w}},{\vec {\tau }}\right\rangle$ stellt die Projektion der Form auf den Tangenteneinheitsvektor dar, d.h.:

$\left\langle {\vec {w}},{\vec {\tau }}\right\rangle$=$\left\|{\vec {w}}\right\|cos({\vec {w}},{\vec {\tau }})$

Stammfunktion einer Pfaffschen Form

Eine stetig differenzierbare Funktion $F:U\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion der stetigen Pfaffschen Form ${\vec {w}}$, wenn gilt:

${\overrightarrow {DF}}={\vec {w}}$.

Die Pfaffsche Form ${\vec {w}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\overrightarrow {dx}}_{i}$ besitzt nur dann eine Stammfunktion, wenn die Form geschlossen ist, d.h. es gilt:

${\partial f_{i} \over \partial x_{j}}={\partial f_{j} \over \partial x_{i}}$ für alle i,j.

Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend. In einem einfach zusammenhängenden Gebiet $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion. Insbesondere gilt: Ist die geschlossene Pfaffsche Form auf dem gesamten $\mathbb {R} ^{n}$ definiert, so besitzt die Form eine Stammfunktion.

Physikalisches Beispiel für eine Pfaffsche Form

Die Pfaffsche Form ${\vec {F}}$ stelle ein Kraftfeld dar. Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort ${\vec {r}}$ ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt ${\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}$ eine Kraftvektor ${\vec {F}}({\vec {r}})$ zu.

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges ${\vec {\varphi }}:\left[a,b\right]\rightarrow U$ von einem Ort ${\vec {\varphi }}(a)$ zu einem Ort ${\vec {\varphi }}(b)$ zu bewegen. Die Größe A der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

$A=\int _{\vec {\varphi }}{\vec {F}}$=$\int _{a}^{b}\left\langle {\vec {F}},{\vec {\tau }}\right\rangle ds$

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe A der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit. Das Kraftfeld ist genau dann konservativ, wenn gilt: $rot{\vec {F}}=0$

Die Stammfunktion $V$ eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft ${\vec {F}}$ genannt. Also gilt:

${\vec {F}}=-gradV$

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei ${\vec {e}}_{i}$ mit i=1,2 oder 3 die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form F:

${\vec {F}}=\sum _{i=1}^{3}f_{i}{\overrightarrow {e}}_{i}$.