Geordnetes Paar

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Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener Objekte, wobei eine der Angaben ausgezeichnet ist. Das ausgezeichnete Objekt wird oft vordere Komponente, das andere hintere Komponente des geordneten Paars genannt. Auch spricht man von linker bzw. rechter oder erster bzw. zweiter Komponente.
Zur expliziten Niederschrift eines geordneten Paars bedient man sich, je nach Kontext, runder, spitzer, eckiger oder anderer Klammern, jedoch nicht geschweifter:

(a,b)\quad \langle a,b\rangle \quad [a,b]

Meist wird die erste Schreibweise mit runden Klammern verwendet, denn die zweite ist die gängige Notation für ein Skalarprodukt und die dritte für ein geschlossenes Intervall.

Geordnete Paare müssen nach Peano das Gleichheitsaxiom für geordnete Paare erfüllen:^[1]

Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind.

Geordnete Paare in der axiomatischen Mengenlehre

In den auf der Grundlage einer axiomatischen Mengenlehre aufgebauten mathematischen Theorien (s. Nicolas Bourbaki) sind alle in Betracht kommenden Objekte Mengen. Geordnete Paare sind in einer solchen Theorie spezielle Mengen. Wenn $A$ eine solche Menge ist, dann kann man zu ihr eindeutig bestimmte Mengen $x_{A}$ (linke Komponente) und $y_{A}$ (rechte Komponente) finden. Umgekehrt, wenn $x$ und $y$ Mengen sind, kann man ein geordnetes Paar (Menge) finden, so dass $x$ die linke und $y$ die rechte Komponente dieses geordnetes Paar ist. Welche Mengen geordnete Paare sind, wird nicht von dem Axiomenschema der Mengenlehre, sondern per Definition festgelegt. Heutzutage ist die Definition von Kuratowski üblich^[2]:

(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\,

(Kuratowski, 1921)^[3].

Man kann in der ZFC-Mengenlehre zeigen, dass die Definition von Kuratowski das Gleichheitsaxiom für geordnete Paare erfüllt. Geschichtlich früherer Vorschlag war der von Norbert Wiener (1914):

(x,y):=\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}

.

Siehe auch

Literatur

Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6
Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0122384400
Halmos P., Naive Mengenlehre, Vandenhoeck & Ruprecht; Auflage: 5. A. 1994, ISBN 978-3525405277
Hausdorff, Felix: Grundzüge der Mengenlehre, Veit & Comp., Leipzig 1914 (Nachdrucke bei Chelsea, New York 1949, 1965, 1978)

Bemerkungen

↑ Formuliert im Jahre 1897
↑ siehe z.B. das Buch von Deiser
↑ Formal aufgeschrieben lautet die Kuratowsksche Definition: Eine Menge $A$ ist geordentes Paar genau dann, wenn $\!^{\exists }$ $x$ $\!^{\exists }$ $y$ $(A=\{\{x\},\{x,y\}\})$ .

[1] Formuliert im Jahre 1897

[2] siehe z.B. das Buch von Deiser

[3] Formal aufgeschrieben lautet die Kuratowsksche Definition: Eine Menge $A$ ist geordentes Paar genau dann, wenn $\!^{\exists }$ $x$ $\!^{\exists }$ $y$ $(A=\{\{x\},\{x,y\}\})$ .

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