Flachheit (Algebra)

Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul".

Mit "Ring" ist in diesem Artikel stets ein kommutativer Ring mit Einselement gemeint.

Definition

Ein Modul M über einem Ring R heißt flach, wenn der Funktor

$N\mapsto M\otimes _{R}N$

exakt ist. (Siehe Tensorprodukt.)

Äquivalente Charakterisierungen sind:

• Tor₁(N, M) = 0 für alle R-Moduln N. (Siehe Tor (Mathematik).)
• Für jedes Ideal I von R ist

$I\otimes _{R}M\to IM$

injektiv.

• Tor₁(R/I, M) = 0 für alle Ideale I von R.

Beispiele

• Alle freien Moduln sind flach.
• Über Hauptidealringen stimmen die Begriffe "flach" und "torsionsfrei" überein.

Eigenschaften

• Da Tor symmetrisch in seinen Argumenten ist, ist die Sequenz

$0\to M\otimes N'\to M\otimes N\to M\otimes N''\to 0$

exakt, falls M oder N′′ flach ist.