Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert eine Größe, die durch eine spezielle Vorschrift, die Grenzwertbildung, definiert ist. Diese Vorschrift kann unterschiedlich formuliert sein; oft handelt es sich um eine Folge von Schritten, die Approximationen des Grenzwertes darstellen. Dabei kann es vorkommen, dass keiner dieser Approximationsschritte den Grenzwert selbst erreicht. Stattdessen nähern sich die Einzelwerte immer mehr an den Grenzwert an.

Für den Limesbegriff in der Kategorientheorie, siehe Limes (Kategorientheorie).

Limes einer reellen Funktion

Das Symbol $\lim _{x\to a}f(x)$ bezeichnet den Limes der reellen Funktion f für den Grenzübergang der Variablen x gegen a. Dabei kann a sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der Werte $+\infty$ und $-\infty$. Auch für den Grenzwert selbst kommen neben reellen Zahlen auch $+\infty$ und $-\infty$ in Frage. Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:

• Definition: Die Funktion f hat für $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$) den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ ein (im Allgemeinen von $\epsilon$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung $|x-a|<\delta$ genügen, auch $|f(x)-b|<\epsilon$ gilt.

Qualitativ ausgedrückt bedeutet dies: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert f(x) und dem Limes b kann beliebig klein gemacht werden, wenn man x genügend nahe bei a wählt.

Beispiel: $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$

• Definition: Die Funktion f hat für $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$) den Limes $+\infty$, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl T ein (im Allgemeinen von T abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung $|x-a|<\delta$ genügen, auch $f(x)>T$ erfüllt ist. Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes $-\infty$ definiert.

Beispiel: $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

• Definition: Die Funktion f hat für $x\to +\infty$ den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ eine (im Allgemeinen von $\epsilon$ abhängige) reelle Zahl S gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung $x>S$ genügen, auch $|f(x)-b|<\epsilon$ erfüllt ist. Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs $x\to -\infty$ definieren.

Beispiel: $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=1$

Bei Grenzwerten des Typs $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$) ist es oft sinnvoll, durch die Zusatzbedingung $x>a$ oder $x<a$ einseitige Grenzwerte zu bilden:

$\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\searrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty$

$\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\nearrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty$

Im ersten Beispiel spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert, im zweiten von einem linksseitigen Grenzwert.

Grenzwertsätze

Sei $\lim _{x\to \infty }f(x)=a$ und $\lim _{x\to \infty }g(x)=b$. Dann gelten folgenden Beziehungen:

• $\lim _{x\to \infty }(f(x)\pm g(x))=a\pm b$
• $\lim _{x\to \infty }(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {a}{b}}$ falls b ≠ 0.
• Ist |f(x)| ≤ |g(x)| und ist $\lim _{x\to \infty }g(x)=0$, so ist auch $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$.

Wichtige Grenzwerte

• $\lim _{x\to \infty }(1+1/x)^{x}=e$
• $\lim _{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$
• $\lim _{x\to 0}\cos(x)=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1$

Limes einer Folge

Erläuterung

Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge $(a_{n})$ reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen fast allen Folgengliedern und $a$ beliebig klein wird.

$|a_{n}-a|<\epsilon$ für alle $n>N$ gilt, dann heißt die Folge $(a_{n})$ konvergent, und zwar gegen den Grenzwert $a$. Kurz:

$\left(\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\right)=a\right)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \left(\epsilon >0\right)\exists \left(N\in \mathbb {N} \right)\forall \left(n>N\right):\left|a_{n}-a\right|<\epsilon$

Man beachte, dass der Index $N$ von $\epsilon$ abhängen darf. Um also z. B. zu beweisen, dass die Folge $(1/n)$ gegen $0$ konvergiert, wählt man zu vorgegebenem $\epsilon$ als $N$ z. B. die kleinste natürliche Zahl, die größer als $1/\epsilon$ ist. Daher gilt für alle $n>N$:

$|a_{n}-0|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{N}}<\epsilon$

Die erste Ungleichung folgt dabei aus $n>N$ (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus $N>1/\epsilon$.

Beispiele

• Die konstante Folge $(b_{n})$ mit $b_{n}=1$ ist konvergent gegen 1.
• Die Folge $(c_{n})$ mit $(c_{n})=1/n$ konvergiert gegen 0 und wird Nullfolge genannt.
• Die Folge $(e_{n})$ mit $e_{n}=(1+1/n)^{n}$ ist konvergent gegen die Eulersche Zahl $e$. Die Folge $(1+r/n)^{n}$ konvergiert gegen $e^{r}$. Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf.
• Die Folge $(c_{n})$ mit $c_{n}=(-1)^{n}+1/n$ ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade n.

• Achilles und die Schildkröte

Verallgemeinerung

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reelle Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt sich reibungslos. Siehe Konvergenz.