Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen X. In der elementaren Algebra identifiziert man diese formale Summe mit einer Funktion in X (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesen beiden Begriffen.

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},

wobei als Definitionsbereich jeder beliebige Ring in Frage kommt, z.B auch ein Restklassenring. Meist werden aber die ganzen Zahlen oder die reellen Zahlen genommen.

Die a_i stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient a_n nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient. Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert. Der Koeffizient a₀ heißt Absolutglied. Beispielsweise ist 2x³ - 7x² + x ein Polynom vom Grad 3 mit Leitkoeffizient 2 und Absolutglied 0.

Polynome des Grades

0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. P(x) = -1).
1 werden lineare Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x + 5).
2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x² - 4x + 2).
3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 4x³ - 2x² + 7x - 2).

Eigenschaften

Polynome sind von besonderer Bedeutung, weil sie die einfachsten Funktionen bilden, die insbesondere leicht zu differenzieren und integrieren sind. Daher gibt es viele Möglichkeiten, komplexere Funktionen durch Polynome anzunähern (siehe z. B. Taylor-Formel, Polynominterpolation).

Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Wert von P(x) Null ist. Sie sind also die Lösungen der Gleichung P(x) = 0. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom vom Grad n höchstens n reelle Nullstellen hat und genau n komplexe. Polynome lassen sich mit Hilfe des Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel). Polynome höheren Grades lassen sich nur in Spezialfällen exakt faktorisieren.

Polynome wachsen als Summe von Potenzen langsamer als jede exponentielle Funktion, unabhängig von den Koeffizienten.

Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form

f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0},

wobei die Koeffizienten a_i aus einem Ring R stammen und X ein formales Symbol ist.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden koeffizientenweise addiert und die Multiplikation ergibt sich mit dem Distributivgesetz aus den Regeln

X · a = a · X für a aus R

X^m · Xⁿ = X^m+n für natürliche Zahlen m,n.

Stellt man Polynome durch die Folge ihrer Koeffizienten dar, dann ist das Produkt zweier Polynome die Faltung ihrer Koeffizientenfolgen.

Polynomfunktion

Indem man an Stelle von X ein Element x des Rings R einsetzt, erhält man ein Element f(x) von R als Bild. Diese Zuordnung x -> f(x) ist eine Funktion von R nach R, die von f induzierte Funktion, eine Polynomfunktion.

Zum Beispiel ist

f = X² + 1

ein Polynom mit Koeffizienten in Z. Dagegen ist

f(x) = x² + 1, x aus Z

eine Funktion von Z nach Z.

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen gibt es eine eineindeutige Zuordnung zwischen Polynomen und Polynomfunktionen; stammen die Koeffizienten jedoch aus einem endlichen Ring, dann gibt es verschiedene Polynome, die dieselbe Funktion induzieren: Z. B. induzieren f = X² + X und g = 0 auf dem Restklassenring Z/2Z dieselbe Funktion f(x) = g(x) = 0.

Polynomring

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R[X]. Sie ist mit der oben angegebenen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Polynomring über R .

Auch die Menge der Polynomfunktionen über dem Ring R bildet einen Ring, der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring.

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a_ijx_i^j als Polynom:

P(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})=\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}^{j}

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X₁ bis X_n über dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als R[X₁, ..., X_n].

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}

über, erhält man Potenzreihen.

Lässt man auch negative Exponenten zu:

f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}

dann erhält man Laurentreihen.

Siehe auch